Laika domēna analīze kontroles sistēmā

Kontroles sistēmā var būt pievienotas dažas enerģijas krātošanas elementi. Elektriskajā sistēmā enerģijas krātošanas elementi parasti ir induktors un kapacitors. Tā kā šie enerģijas krātošanas elementi ir klāt, ja sistēmas enerģijas stāvoklis tiek pārtraukts, tai būs nepieciešams noteikts laiks, lai mainītos no viena enerģijas stāvokļa uz otru. Tiešais laiks, kas sistēmai ir nepieciešams, lai mainītos no viena enerģijas stāvokļa uz otru, sauc par pārejas laiku, un šajā periodā esošo spriegumu un strāvas vērtību un modeli sauc par pārejas atbildi.

Pārejas atbilde parasti ir saistīta ar oscilāciju, kas var būt ilgstoša vai samazinājusies. Sistēmas precīzais raksturs atkarīgs no sistēmas parametriem. Jebkuru sistēmu var izteikt ar lineāru diferenciālvienādojumu. Šī lineārā diferenciālvienādojuma atrisinājums dod sistēmas atbildi. Kontroles sistēmas izteiksmes ar lineāro diferenciālvienādojumu funkcijām laikā un tās atrisinājums kopā sauc par laika apakšprocesa analīzi kontroles sistēmā.

Pārslēguma funkcija

Šķiram neatkarīgu sprieguma avotu vai akumulatoru, kas savienots ar voltmetru caur slēdzi, s. No zīmējuma redzams, ka, kad slēdzis s ir atvērts, starp voltmetra kontaktiem nesanāk nekāds spriegums. Ja starp voltmetra kontaktiem esošo spriegumu apzīmē ar v (t), situāciju matemātiski var izteikt kā

Tagad aplūkojam, ka t = 0, slēdzis tiek aizvērts, un tūlīt akumulatora spriegums V voltos sanāk starp voltmetra kontaktiem, un šo situāciju var izteikt kā,

Saskaitot divus augstāk minētos vienādojumus, iegūstam

Augstāk minētajos vienādojumos, ja vietā V ievadam 1, iegūstam vienības pārslēguma funkciju, ko var definēt kā

Tagad pārbaudīsim Laplasa transformāciju vienības pārslēguma funkcijai. Laplasa transformāciju jebkuram funkcijam var iegūt, reizinot šo funkciju ar e-st un integrējot reizinājumu no 0 līdz bezgalībai.
Att. 6.2.1

Ja ievade ir R(s), tad

Rampa funkcija

Funkcija, kas attēlojama kā novietota taisne, kas krusto nullpunktus, sauc par rampa funkciju. Tas nozīmē, ka šī funkcija sākas no nulles un lineāri pieaug vai samazinās ar laiku. Rampa funkciju var izteikt kā,

Šajā augstāk minētajā vienādojumā k ir taisnes slīpums.
Att. 6.2.2
Tagad pārbaudīsim Laplasa transformāciju rampa funkcijai. Kā mēs jau esam teikuši, Laplasa transformāciju jebkuram funkcijam var iegūt, reizinot šo funkciju ar e-st un integrējot reizinājumu no 0 līdz bezgalībai.

Paraboliska funkcija

Šeit, funkcijas vērtība ir nulle, kad laiks t<0, un kvadrātiska, kad laiks t > 0. Parabolisko funkciju var definēt kā,

Tagad pārbaudīsim Laplasa transformāciju paraboliskai funkcijai. Kā mēs jau esam teikuši, Laplasa transformāciju jebkuram funkcijam var iegūt, reizinot šo funkciju ar e-st un integrējot reizinājumu no 0 līdz bezgalībai.
Att. 6.2.3

Impulsfunkcija

Impuls signāls tiek radīts, kad ievade tiek ātri piemērota sistēmai ļoti īsu laika periodu. Šāda signāla forma tiek attēlota kā impulsfunkcija. Ja šādas funkcijas amplitūda ir vienība, tad funkcija sauc par vienības impulsfunkciju. Pirmā laika atvasinājuma pārslēguma funkcija ir impulsfunkcija. Tāpēc Laplasa transformācija vienības impulsfunkcijai nav nekas cits kā Laplasa transformācija pirmā laika atvasinājuma vienības pārslēguma funkcijai.
Att. 6.2.4

Pirmais kontroles sistēmu laika atbilde

Ja maksimālā s pakāpe saistītā funkcijas saucējā ir viens, saistītā funkcija pārstāv pirmās kārtas kontroles sistēmu. Bieži pirmās kārtas kontroles sistēmu var izteikt kā

Pārslēguma funkcijas laika atbilde

Tagad sistēmai tiek dota vienības pārslēguma ievade, tad analizēsim izvades izteiksmi:

Att. 6.3.2No kļūdainā vienādojuma redzams, ka, ja laiks piepulkstām bezgalību, izvades signāls eksponenciāli sasniedz pastāvīgo vērtību vienību. Tā kā izvade eksponenciāli piepulkstām ievadi, pastāvīgā kļūda, kad laiks piepulkstām bezgalību, ir nulle.

Ievadam t = T izvades vienādojumā, iegūstam,

Šo T definē kā atbildes laika konstanti, un atbildes signāla laika konstante ir tas laiks, kurā signāls sasniedz 63.2 % no tā galīgās vērtības. Tagad, ja ievadam t = 4T augstāk minētajā izvades atbildes vienādojumā, iegūstam,

Ja atbildes faktiskā vērtība sasniedz 98% no gaidāmajās vērtības, tad signāls tiek minēts kā sasniedzis savu pastāvīgo stāvokli. Šis nepieciešamais laiks, lai signāls sasniedzētu 98 % no tā gaidāmajās vērtības, sauc par uzsākšanas laiku, un dabiski, uzsākšanas laiks ir četras reizes lielāks par atbildes laika konstanti. Atbildes stāvoklis pirms uzsākšanas laika sauc par pārejas stāvokli, bet atbildes stāvoklis pēc uzsākšanas laika sauc par pastāvīgo stāvokli. No šīs izskaidrojuma ir skaidrs, ka, ja sistēmas laika konstante ir mazāka, sistēmas atbilde sasniedz savu pastāvīgo stāvokli straujāk.

Rampa funkcijas laika atbilde