Análise do dominio temporal do sistema de control

Nun sistema de control, pode haber elementos de almacenamento de enerxía anexados a el. Os elementos de almacenamento de enerxía son xeralmente inductores e condensadores no caso dun sistema eléctrico. Debido á presenza destes elementos de almacenamento de enerxía, se o estado de enerxía do sistema está perturbado, levará un certo tempo para cambiar dun estado de enerxía a outro. O tempo exacto que o sistema tarda en cambiar dun estado de enerxía a outro coñécese como tempo transitório e o valor e o patrón de voltaxes e correntes durante este período coñécense como a resposta transitória.

A resposta transitória asóciase normalmente cunha oscilación, que pode ser sostenida ou decrescente na súa natureza. A natureza exacta do sistema depende dos parámetros do sistema. Calquera sistema pode representarse con unha ecuación diferencial linear. A solución desta ecuación diferencial linear dá a resposta do sistema. A representación dun sistema de control por unha ecuación diferencial linear de funcións do tempo e a súa solución denomínase colectivamente análise no dominio do tempo do sistema de control.

Función Escalonada

Tomemos unha fonte de voltaxe independente ou unha batería que está conectada a un voltímetro a través dun interruptor, s. É claro na figura inferior, sempre que o interruptor s está aberto, a voltaxe que aparece entre os terminais do voltímetro é cero. Se a voltaxe entre os terminais do voltímetro se representa como v (t), a situación pode representarse matematicamente como

Agora, consideremos que en t = 0, o interruptor está pechado e instantaneamente a voltaxe da batería V volts aparece a través do voltímetro e esa situación pode representarse como,

Combinando as dúas ecuacións anteriores obtemos

Nas ecuacións anteriores, se colocamos 1 no lugar de V, obteremos unha función escalonada unitaria que se pode definir como

Agora examinemos a transformada de Laplace da función escalonada unitaria. A transformada de Laplace de calquera función pode obterse multiplicando esta función por e-st e integrando o produto desde 0 ata infinito.
Fig 6.2.1

Se a entrada é R(s), entón

Función Rampante

A función que se representa por unha liña recta inclinada que corta a orixe coñécese como función rampante. Isto significa que esta función comeza desde cero e aumenta ou diminúe linearmente co tempo. Unha función rampante pode representarse como,

Nesta ecuación anterior, k é a pendente da liña.
Fig 6.2.2
Agora, examinemos a transformada de Laplace da función rampante. Como dixemos antes, a transformada de Laplace de calquera función pode obterse multiplicando esta función por e-st e integrando o produto desde 0 ata infinito.

Función Parabólica

Aquí, o valor da función é cero cando o tempo t<0 e é cuadrático cando o tempo t > 0. Unha función parabólica pode definirse como,

Agora, examinemos a transformada de Laplace da función parabólica. Como dixemos antes, a transformada de Laplace de calquera función pode obterse multiplicando esta función por e-st e integrando o produto desde 0 ata infinito.
Fig 6.2.3

Función Impulsiva

O sinal impulsivo produce cando a entrada se aplica de súpeto ao sistema durante unha duración de tempo infinitesimal. A forma de onda deste sinal representa como función impulsiva. Se a magnitude desta función é unidade, entón a función chámase función impulsiva unitaria. A primeira derivada temporal da función escalonada é a función impulsiva. Polo tanto, a transformada de Laplace da función impulsiva unitaria é nada máis que a transformada de Laplace da primeira derivada temporal da función escalonada unitaria.
Fig 6.2.4

Resposta Temporal de Sistemas de Control de Primeira Orde

Cando o máximo poder de s no denominador dunha función de transferencia é un, a función de transferencia representa un sistema de control de primeira orde. Comúnmente, o sistema de control de primeira orde pode representarse como

Resposta Temporal para Función Escalonada

Agora, dáse unha entrada escalonada unitaria ao sistema, analizemos a expresión da saída:

Fig 6.3.2Vese na ecuación de erro que, se o tempo se aproxima ao infinito, o sinal de saída alcanza exponencialmente o valor estacionario dunha unidade. Como a saída se aproxima á entrada exponencialmente, o erro estacionario é cero cando o tempo se aproxima ao infinito.

Pongamos t = T na ecuación de saída e obtense,

Este T defínese como a constante de tempo da resposta e a constante de tempo dun sinal de resposta é o tempo para o cal o sinal alcanza o 63.2 % do seu valor final. Agora, se ponemos t = 4T na ecuación de resposta de saída anterior, obtense,

Cando o valor real da resposta alcanza o 98% do valor deseado, entón o sinal dícese que chegou á súa condición estacionaria. Este tempo necesario para que o sinal alcance o 98 % do seu valor deseado coñécese como tempo de establecemento e naturalmente o tempo de establecemento é catro veces a constante de tempo da resposta. A condición da resposta antes do tempo de establecemento coñécese como condición transitória e a condición da resposta despois do tempo de establecemento coñécese como condición estacionaria. Deste modo, é claro que se a constante de tempo do sistema é menor, a resposta do sistema alcanza a súa condición estacionaria máis rápido.

Resposta Temporal para Función Rampante

Neste caso, durante a condición estacionaria, o sinal de saída queda atrás do sinal de entrada nun tempo igual á constante de tempo do sistema. Se a constante de tempo do sistema é menor, o erro posicional da resposta é menor.

Resposta Temporal para Función Impulsiva

Propina