제어 시스템의 시간 영역 분석

제어 시스템에서 에너지를 저장하는 요소가 연결되어 있을 수 있습니다. 전기 시스템의 경우 이러한 에너지 저장 요소는 일반적으로 인덕터와 커패시터입니다. 이러한 에너지 저장 요소의 존재로 인해 시스템의 에너지 상태가 방해받으면, 한 에너지 상태에서 다른 에너지 상태로 변화하는데 일정한 시간이 걸립니다. 시스템이 한 에너지 상태에서 다른 에너지 상태로 변화하는 데 걸리는 정확한 시간은 과도 시간이라고 하며, 이 기간 동안의 전압과 전류의 값과 패턴은 과도 응답이라고 합니다.

과도 응답은 일반적으로 지속적이거나 감쇠되는 특성을 가진 진동과 관련이 있습니다. 시스템의 정확한 특성은 시스템의 매개변수에 따라 달라집니다. 모든 시스템은 선형 미분 방정식으로 표현될 수 있으며, 이 선형 미분 방정식의 해는 시스템의 응답을 제공합니다. 시간 함수와 그 해를 사용하여 제어 시스템을 선형 미분 방정식으로 표현하는 것은 제어 시스템의 시간 영역 분석이라고 집합적으로 부릅니다.

계단 함수

독립적인 전압 소스 또는 배터리가 스위치 s를 통해 볼트미터에 연결되어 있다고 가정해봅시다. 아래 그림에서 보듯이 스위치 s가 열려있을 때, 볼트미터 단자 사이의 전압은 0입니다. 볼트미터 단자 사이의 전압을 v(t)로 나타내면, 상황은 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다

이제 t = 0일 때 스위치가 닫히고 즉시 배터리 전압 V 볼트가 볼트미터에 나타나는 상황을 다음과 같이 표현할 수 있습니다

위 두 식을 결합하면

위 식에서 V 대신 1을 넣으면 단위 계단 함수를 얻을 수 있으며, 이를 다음과 같이 정의할 수 있습니다

이제 단위 계단 함수의 라플라스 변환을 살펴보겠습니다. 어떤 함수의 라플라스 변환은 이 함수를 e-st로 곱하고 0부터 무한대까지 적분하여 얻을 수 있습니다.
그림 6.2.1

입력이 R(s)인 경우

램프 함수

원점을 교차하는 경사진 직선으로 표현되는 함수는 램프 함수라고 합니다. 즉, 이 함수는 0에서 시작하여 시간에 따라 선형적으로 증가하거나 감소합니다. 램프 함수는 다음과 같이 표현할 수 있습니다

여기서 위 식에서 k는 직선의 기울기입니다.
그림 6.2.2
이제 램프 함수의 라플라스 변환을 살펴보겠습니다. 앞서 언급했듯이 어떤 함수의 라플라스 변환은 이 함수를 e-st로 곱하고 0부터 무한대까지 적분하여 얻을 수 있습니다.

포물선 함수

여기서 시간 t<0일 때 함수의 값은 0이고, 시간 t > 0일 때는 2차식입니다. 포물선 함수는 다음과 같이 정의할 수 있습니다

이제 포물선 함수의 라플라스 변환을 살펴보겠습니다. 앞서 언급했듯이 어떤 함수의 라플라스 변환은 이 함수를 e-st로 곱하고 0부터 무한대까지 적분하여 얻을 수 있습니다.
그림 6.2.3

임펄스 함수

임펄스 신호는 입력이 시스템에 순간적으로 적용되고 극히 짧은 시간 동안 작용할 때 발생합니다. 이러한 신호의 파형은 임펄스 함수로 표현됩니다. 만약 이 함수의 크기가 1이면, 이 함수는 단위 임펄스 함수라고 합니다. 단위 계단 함수의 첫 번째 시간 도함수가 임펄스 함수입니다. 따라서 단위 임펄스 함수의 라플라스 변환은 단위 계단 함수의 첫 번째 시간 도함수의 라플라스 변환과 같습니다.
그림 6.2.4

1차 제어 시스템의 시간 응답

전달 함수의 분모에서 s의 최대 차수가 1인 경우, 해당 전달 함수는 1차 제어 시스템을 나타냅니다. 일반적으로 1차 제어 시스템은 다음과 같이 표현할 수 있습니다

계단 함수에 대한 시간 응답

이제 시스템에 단위 계단 입력을 주었을 때, 출력의 표현을 분석해보겠습니다:

그림 6.3.2오차 방정식에서 시간이 무한대로 접근할 때, 출력 신호가 지수적으로 1 단위의 안정 상태 값에 도달함을 알 수 있습니다. 출력이 지수적으로 입력에 접근하므로, 시간이 무한대로 접근할 때 안정 상태 오차는 0입니다.

출력 방정식에 t = T를 대입하면 다음과 같습니다

이 T는 응답의 시간 상수로, 신호가 최종 값의 63.2 %에 도달하는 시간입니다. 이제 위 출력 응답 방정식에 t = 4T를 대입하면 다음과 같습니다

실제 응답 값이 원하는 값의 98%에 도달하면, 신호는 안정 상태 조건에 도달한 것으로 간주됩니다. 이 원하는 값의 98%에 도달하는 데 필요한 시간은 설정 시간이며, 자연스럽게 설정 시간은 응답의 시간 상수의 4배입니다. 설정 시간 이전의 응답 상태는 과도 상태이고, 설정 시간 이후의 응답 상태는 안정 상태입니다. 이 설명에서 알 수 있듯이, 시스템의 시간 상수가 작을수록 시스템의 응답이 더 빠르게 안정 상태에 도달합니다.

램프 함수에 대한 시간 응답

이 경우, 안정 상태 조건에서 출력 신호는 시스템의 시간 상수만큼 입력 신호보다 지연됩니다. 시스템의 시간 상수가 작을수록 응답의 위치 오차가 줄어듭니다.

임펄스 함수에 대한 시간 응답

위에서 설명한 제어 시스템의 시간 응답에서, 계단 함수는 램프 함수의 첫 번째 도함수이고, 임펄스 함수는 계단 함수의 첫 번째 도함수임을 확인했습니다. 또한, 계단 함수의 시간 응답은 램프 함수의 시간 응답의 첫 번째 도함수이고, 임펄스 함수의 시간 응답은 계단 함수의 시간 응답의 첫 번째 도함수임을 확인했습니다.