Vremenska analiza sistema upravljanja

U sistemima upravljanja mogu biti povezani elementi za čuvanje energije. Elementi za čuvanje energije su obično indukcioni i kapacitivni elementi u slučaju električnog sistema. Zbog prisustva ovih elemenata za čuvanje energije, ako se stanje energije sistema promeni, potreban je određeni vremenski period da bi sistem prešao iz jednog stanja energije u drugo. Tačno vreme koje sistem potrebno ima da pređe iz jednog stanja energije u drugo naziva se privremeno vreme, a vrednost i obrazac napona i struja tijekom ovog perioda poznati su kao privremena odgovora.

Privremeni odgovor obično dolazi uz oscilaciju, koja može biti održiva ili opadajuća prirode. Tačna priroda sistema zavisi od parametara sistema. Bilo koji sistem se može predstaviti linearnom diferencijalnom jednačinom. Rešenje ove linearne diferencijalne jednačine daje odgovor sistema. Predstavljanje sistema upravljanja kroz linearnu diferencijalnu jednačinu funkcija vremena i njenog rešenja zajedno se naziva analizom u vremenskom domenu sistema upravljanja.

Korak Funkcija

Pretpostavimo nezavisni voltage izvor ili bateriju koja je spojena na voltmetar preko prekidača, s. Iz slike ispod je jasno da kad je prekidač s otvoren, napon između terminala voltmetera je nula. Ako se napon između terminala voltmetera označi kao v (t), situacija se matematički može predstaviti kao

Sada pretpostavimo da u trenutku t = 0, prekidač se zatvori i odmah baterijski napon V volt pojavljuje se na voltmeteru, a ta situacija se može predstaviti kao,

Kombinujući gornje dvije jednačine dobijamo

U gornjim jednačinama, ako stavimo 1 umesto V, dobićemo jediničnu korak funkciju koja se može definisati kao

Sada ispitujući Laplaceovu transformaciju jedinične korak funkcije. Laplaceova transformacija bilo koje funkcije se može dobiti množenjem te funkcije sa e-st i integriranjem množenog od 0 do beskonačnosti.
Slika 6.2.1

Ako je ulaz R(s), onda

Rampa Funkcija

Funkcija koja se predstavlja pravom linijom koja seče podrijetlo je poznata kao rampa funkcija. To znači da ova funkcija počinje od nule i linearno raste ili pada s vremenom. Rampa funkcija se može predstaviti kao,

Ovdje u ovoj gornjoj jednačini, k je nagib linije.
Slika 6.2.2
Sada ispitujući Laplaceovu transformaciju rampe funkcije. Kao što smo ranije rekli, Laplaceova transformacija bilo koje funkcije se može dobiti množenjem te funkcije sa e-st i integriranjem množenog od 0 do beskonačnosti.

Parabolična Funkcija

Ovdje, vrijednost funkcije je nula kada je vrijeme t<0, a kvadratna kada je vrijeme t > 0. Parabolična funkcija se može definirati kao,

Sada ispitujući Laplaceovu transformaciju parabolične funkcije. Kao što smo ranije rekli, Laplaceova transformacija bilo koje funkcije se može dobiti množenjem te funkcije sa e-st i integriranjem množenog od 0 do beskonačnosti.
Slika 6.2.3

Impulsna Funkcija

Impulsni signal proizveden je kada se ulaz brzo primijeni na sistem tokom beskonačno male trajanja vremena. Valna forma takvog signala predstavljena je kao impulsna funkcija. Ako je magnituda takve funkcije jedinica, tada se funkcija naziva jedinična impulsna funkcija. Prvi vremenski izvod korak funkcije je impulsna funkcija. Stoga je Laplaceova transformacija jedinične impulsne funkcije zapravo Laplaceova transformacija prvog vremenskog izvoda jedinične korak funkcije.
Slika 6.2.4

Vremenski Odziv Prvog Reda Sistemi Upravljanja

Kada je maksimalna snaga s u imeniocu prenosne funkcije jedan, prenosna funkcija predstavlja sistem upravljanja prvog reda. Obično, sistem upravljanja prvog reda može se predstaviti kao

Vremenski Odziv za Korak Funkciju

Sada, kada se jedinični korak ulaz daje sistemu, analizirajmo izraz izlaza:

Slika 6.3.2Iz jednačine greške vidimo da, ako vreme teži beskonačnosti, izlazni signal eksponencijalno dostiže stabilno stanje jedne jedinice. Budući da izlaz eksponencijalno teži ulazu, stabilna greška je nula kada vreme teži beskonačnosti.

Neka je t = T u jednačini izlaza, onda dobijamo,

Ovo T definisano je kao vremenska konstanta odziva, a vremenska konstanta signala odziva je vreme za koje signal dostiže 63,2 % svoje konačne vrijednosti. Sada, ako stavimo t = 4T u gornjoj jednačini odziva, onda dobijamo,

Kada stvarna vrijednost odziva doseže 98% željene vrijednosti, onda se kaže da je signal dosegao svoje stabilno stanje. Ovo potrebno vreme za doseg 98% željene vrijednosti poznato je kao vreme postavljanja, a prirodno vreme postavljanja je četiri puta veće od vremenske konstante odziva. Stanje odziva prije vremena postavljanja poznato je kao privremeno stanje, a stanje odziva nakon vremena postavljanja poznato je kao stabilno stanje. Iz ovog objašnjenja jasno je da, ako je vremenska konstanta sistema manja, odziv sistema brže dostiže svoje stabilno stanje.

Vremenski Odziv za Rampa Funkciju