Časová oblast analýzy řídicího systému

V řídicím systému mohou být připojeny některé prvky ukládající energii. Prvky ukládající energii jsou obvykle civky a kapacity v případě elektrického systému. Díky přítomnosti těchto prvků ukládajících energii, pokud je stav energie systému narušen, trvá určitou dobu, než se systém změní z jednoho energetického stavu do druhého. Přesná doba, kterou systém potřebuje k změně jednoho energetického stavu na druhý, se nazývá přechodová doba a hodnota a vzorec napětí a proudů během této doby se nazývá přechodová odezva.

Přechodová odezva je obvykle spojena s oscilací, která může být ustálená nebo zanikající. Přesná povaha systému závisí na parametrech systému. Jakýkoli systém lze vyjádřit lineární diferenciální rovnicí. Řešení této lineární diferenciální rovnice dává odezvu systému. Zobrazení řídicího systému pomocí lineární diferenciální rovnice funkcí času a jejího řešení se kolektivně nazývá analýza řídicího systému v časové oblasti.

Kroková funkce

Uvažme nezávislý zdroj napětí nebo baterii, která je připojena k voltmetru přes spínač, s. Je zřejmé z následujícího obrázku, že když je spínač s otevřen, napětí mezi terminály voltmeteru je nulové. Pokud je napětí mezi terminály voltmeteru reprezentováno jako v (t), situace lze matematicky vyjádřit jako

Nyní uvažme, že v čase t = 0 je spínač zavřen a okamžitě se napětí baterie V volt objeví na voltmeteru a tato situace lze vyjádřit jako,

Kombinací těchto dvou rovnic dostáváme

V těchto rovnicích, pokud místo V dosadíme 1, získáme jednotkovou krokovou funkci, kterou lze definovat jako

Nyní si prohlédněme Laplaceovu transformaci jednotkové krokové funkce. Laplaceova transformace jakékoli funkce lze získat násobením této funkce e-st a integrací násobené od 0 do nekonečna.
Obr. 6.2.1

Pokud je vstup R(s), pak

Rampová funkce

Funkce, která je reprezentována nakloněnou přímkou, protínající počátek, se nazývá rampová funkce. To znamená, že tato funkce začíná nulou a lineárně roste nebo klesá s časem. Rampovou funkci lze vyjádřit jako,

Zde v této rovnici, k je sklon přímky.
Obr. 6.2.2
Nyní si prohlédněme Laplaceovu transformaci rampové funkce. Jak jsme již dříve řekli, Laplaceova transformace jakékoli funkce lze získat násobením této funkce e-st a integrací násobené od 0 do nekonečna.

Parabolická funkce

Zde má funkce hodnotu nula, když čas t<0 a je kvadratická, když čas t > 0. Parabolickou funkci lze definovat jako,

Nyní si prohlédněme Laplaceovu transformaci parabolické funkce. Jak jsme již dříve řekli, Laplaceova transformace jakékoli funkce lze získat násobením této funkce e-st a integrací násobené od 0 do nekonečna.
Obr. 6.2.3

Impulsní funkce

Impulsní signál je vytvořen, když je vstup náhle aplikován na systém po nekonečně krátkou dobu. Vlnová forma takového signálu je reprezentována impulsní funkcí. Pokud je velikost takové funkce jednotková, pak se funkce nazývá jednotková impulsní funkce. První časová derivace krokové funkce je impulsní funkce. Tedy Laplaceova transformace jednotkové impulsní funkce je nic jiného než Laplaceova transformace první časové derivace jednotkové krokové funkce.
Obr. 6.2.4

Časová odezva prvního řádu řídicích systémů

Když je maximální mocnina s v jmenovateli přenosové funkce jedna, přenosová funkce reprezentuje systém prvního řádu. Běžně lze systém prvního řádu reprezentovat jako

Časová odezva pro krokovou funkci

Nyní je systému předán jednotkový krokový vstup, pak analyzujme výraz výstupu:

Obr. 6.3.2Je vidět z rovnice chyby, že pokud se čas blíží k nekonečnu, výstupní signál exponenciálně dosáhne stacionární hodnoty jedné jednotky. Protože výstup exponenciálně konverguje k vstupu, stacionární chyba je nulová, když se čas blíží k nekonečnu.

Dosazením t = T do rovnice výstupu získáme,

Toto T je definováno jako časová konstanta odezvy a časová konstanta odezvy signálu je doba, po kterou signál dosáhne 63,2 % své konečné hodnoty. Nyní, pokud dosadíme t = 4T do výše uvedené rovnice výstupu, získáme,

Když skutečná hodnota odezvy dosáhne 98 % požadované hodnoty, pak se signál říká, že dosáhl svého stacionárního stavu. Tato požadovaná doba pro dosažení signálu 98 % požadované hodnoty se nazývá nastavovací doba a samozřejmě, že nastavovací doba je čtyřikrát větší než časová konstanta odezvy. Stav odezvy před nastavovací dobou se nazývá přechodový stav a stav odezvy po nastavovací době se nazývá stacionární stav. Z tohoto vysvětlení je zřejmé, že pokud je časová konstanta systému menší, odezva systému dosáhne svého stacionárního stavu rychleji.

Časová odezva pro rampovou funkci