Analyse temporelle du système de contrôle

Dans un système de commande, il peut y avoir des éléments de stockage d'énergie attachés à lui. Les éléments de stockage d'énergie sont généralement des inductances et des condensateurs dans le cas d'un système électrique. En raison de la présence de ces éléments de stockage d'énergie, si l'état énergétique du système est perturbé, il faudra un certain temps pour passer d'un état énergétique à un autre. Le temps exact pris par le système pour passer d'un état énergétique à un autre est connu sous le nom de temps transitoire et la valeur et le motif des tensions et des courants pendant cette période sont connus sous le nom de réponse transitoire.

Une réponse transitoire est généralement associée à une oscillation, qui peut être soutenue ou décroissante. La nature exacte du système dépend des paramètres du système. Tout système peut être représenté par une équation différentielle linéaire. La solution de cette équation différentielle linéaire donne la réponse du système. La représentation d'un système de commande par une équation différentielle linéaire de fonctions de temps et sa solution est collectivement appelée analyse dans le domaine temporel du système de commande.

Fonction échelon

Prenons une source de tension indépendante ou une batterie connectée à un voltmètre via un interrupteur, s. Il est clair que, lorsque l'interrupteur s est ouvert, la tension entre les bornes du voltmètre est nulle. Si la tension entre les bornes du voltmètre est représentée par v (t), la situation peut être représentée mathématiquement comme

Maintenant, supposons qu'à t = 0, l'interrupteur est fermé et instantanément la tension de la batterie V volt apparaît sur le voltmètre et cette situation peut être représentée comme,

En combinant les deux équations ci-dessus, nous obtenons

Dans les équations ci-dessus, si nous mettons 1 à la place de V, nous obtiendrons une fonction échelon unitaire qui peut être définie comme

Examinons maintenant la transformée de Laplace de la fonction échelon unitaire. La transformée de Laplace de toute fonction peut être obtenue en multipliant cette fonction par e-st et en intégrant le produit de 0 à l'infini.
Fig 6.2.1

Si l'entrée est R(s), alors

Fonction rampe

La fonction représentée par une ligne droite inclinée intersectant l'origine est connue sous le nom de fonction rampe. Cela signifie que cette fonction commence à zéro et augmente ou diminue linéairement avec le temps. Une fonction rampe peut être représentée comme,

Dans cette équation ci-dessus, k est la pente de la ligne.
Fig 6.2.2
Examinons maintenant la transformée de Laplace de la fonction rampe. Comme nous l'avons dit précédemment, la transformée de Laplace de toute fonction peut être obtenue en multipliant cette fonction par e-st et en intégrant le produit de 0 à l'infini.

Fonction parabolique

Ici, la valeur de la fonction est nulle lorsque t<0 et est quadratique lorsque t > 0. Une fonction parabolique peut être définie comme,

Examinons maintenant la transformée de Laplace de la fonction parabolique. Comme nous l'avons dit précédemment, la transformée de Laplace de toute fonction peut être obtenue en multipliant cette fonction par e-st et en intégrant le produit de 0 à l'infini.
Fig 6.2.3

Fonction impulsionnelle

Le signal d'impulsion est produit lorsqu'une entrée est soudainement appliquée au système pendant une durée de temps infiniment courte. L'allure de ce signal est représentée par une fonction impulsionnelle. Si la magnitude de cette fonction est unitaire, alors la fonction est appelée fonction impulsionnelle unitaire. La première dérivée temporelle de la fonction échelon est la fonction impulsionnelle. Par conséquent, la transformée de Laplace de la fonction impulsionnelle unitaire n'est rien d'autre que la transformée de Laplace de la première dérivée temporelle de la fonction échelon unitaire.
Fig 6.2.4

Réponse temporelle des systèmes de commande du premier ordre

Lorsque la puissance maximale de s au dénominateur d'une fonction de transfert est un, la fonction de transfert représente un système de commande du premier ordre. Généralement, le système de commande du premier ordre peut être représenté comme

Réponse temporelle pour la fonction échelon

Maintenant, une entrée échelon unitaire est donnée au système, analysons l'expression de la sortie:

Fig 6.3.2Il est visible à partir de l'équation d'erreur que si le temps approche de l'infini, le signal de sortie atteint exponentiellement la valeur de régime permanent d'une unité. Comme la sortie se rapproche de l'entrée exponentiellement, l'erreur de régime permanent est nulle lorsque le temps approche de l'infini.

Plaçons t = T dans l'équation de sortie et nous obtenons,

Ce T est défini comme la constante de temps de la réponse et la constante de temps d'un signal de réponse est le temps pour lequel le signal atteint 63,2 % de sa valeur finale. Maintenant, si nous plaçons t = 4T dans l'équation de réponse de sortie ci-dessus, nous obtenons,

Lorsque la valeur réelle de la réponse atteint 98 % de la valeur souhaitée, on dit que le signal est arrivé à son état de régime permanent. Ce temps nécessaire pour que le signal atteigne 98 % de sa valeur souhaitée est connu sous le nom de temps de stabilisation et naturellement, le temps de stabilisation est quatre fois la constante de temps de la réponse. La condition de réponse avant le temps de stabilisation est connue sous le nom de condition transitoire et la condition de réponse après le temps de stabilisation est connue sous le nom de condition de régime permanent. À partir de cette explication, il est clair que si la constante de temps du système est plus petite, la réponse du système atteint son état de régime permanent plus rapidement.

Réponse temporelle pour la fonction rampe

Dans ce cas, pendant la condition de régime permanent, le signal de sortie est en retard par rapport au signal d'entrée d'un temps égal à la constante de temps du système. Si la constante de temps du système est plus petite, l'erreur de position de la réponse devient moindre.

Réponse temporelle pour la fonction impulsionnelle