تحلیل دامنه زمانی سیستم کنترل
در یک سیستم کنترل، ممکن است عناصر ذخیره‌کننده انرژی به آن متصل شوند. عناصر ذخیره‌کننده انرژی معمولاً سپرها و خازنهای در یک سیستم الکتریکی هستند. به دلیل وجود این عناصر ذخیره‌کننده انرژی، اگر حالت انرژی سیستم تغییر کند، زمان معینی برای تغییر از یک حالت انرژی به حالت دیگر لازم است. زمان دقیقی که سیستم برای تغییر از یک حالت انرژی به حالت دیگر صرف می‌شود را زمان موقتی می‌گویند و مقدار و الگوی ولتاژها و جریانها در این مدت زمان پاسخ موقت نامیده می‌شود.
پاسخ موقت معمولاً با نوسان مرتبط است که ممکن است پایدار یا فرسوده باشد. طبیعت دقیق سیستم بستگی به پارامترهای سیستم دارد. هر سیستمی می‌تواند با یک معادله دیفرانسیل خطی نشان داده شود. حل این معادله دیفرانسیل خطی پاسخ سیستم را می‌دهد. نمایش یک سیستم کنترل با یک معادله دیفرانسیل خطی از توابع زمان و حل آن به طور جمعی تحلیل دامنه زمانی سیستم کنترل نامیده می‌شود.
تابع پله‌ای
بگذارید یک منبع ولتاژ مستقل یا یک باتری را در نظر بگیریم که از طریق یک کلید به یک ولت‌سنج متصل شده است. از شکل زیر مشخص است که هر زمان که کلید s باز است، ولتاژ ظاهر شده بین دو سر ولت‌سنج صفر است. اگر ولتاژ بین دو سر ولت‌سنج با v (t) نشان داده شود، وضعیت ریاضی به صورت زیر نمایش داده می‌شود
حال بگذارید در t = 0 کلید بسته شود و به طور فوری ولتاژ باتری V ولت بین ولت‌سنج ظاهر شود و این وضعیت را می‌توان به صورت زیر نشان داد
با ترکیب دو معادله بالا به دست می‌آوریم
در معادلات بالا اگر عدد 1 را به جای V قرار دهیم، یک تابع پله واحد خواهیم داشت که به صورت زیر تعریف می‌شود
حال بگذارید تبدیل لاپلاس تابع پله واحد را بررسی کنیم. تبدیل لاپلاس هر تابعی می‌تواند با ضرب این تابع در e-st و یکپارچه‌سازی ضرب از 0 تا بی‌نهایت به دست آید.
شکل 6.2.1
اگر ورودی R(s) باشد،
تابع شیب‌دار
تابعی که با یک خط مستقیم مایل از مبدأ عبور می‌کند به عنوان تابع شیب‌دار شناخته می‌شود. این به این معنی است که این تابع از صفر شروع می‌شود و به طور خطی با زمان افزایش یا کاهش می‌یابد. یک تابع شیب‌دار می‌تواند به صورت زیر نشان داده شود
در این معادله بالا، k شیب خط است.
شکل 6.2.2
حال بگذارید تبدیل لاپلاس تابع شیب‌دار را بررسی کنیم. همانطور که قبلاً گفتیم، تبدیل لاپلاس هر تابعی می‌تواند با ضرب این تابع در e-st و یکپارچه‌سازی ضرب از 0 تا بی‌نهایت به دست آید.
تابع سهموی
در اینجا، مقدار تابع وقتی t<0 صفر است و وقتی t > 0 دومی است. یک تابع سهموی می‌تواند به صورت زیر تعریف شود
حال بگذارید تبدیل لاپلاس تابع سهموی را بررسی کنیم. همانطور که قبلاً گفتیم، تبدیل لاپلاس هر تابعی می‌تواند با ضرب این تابع در e-st و یکپارچه‌سازی ضرب از 0 تا بی‌نهایت به دست آید.
شکل 6.2.3
تابع ضربه‌ای
سیگنال ضربه‌ای زمانی تولید می‌شود که ورودی به طور ناگهانی و برای مدت زمان بسیار کوتاه به سیستم اعمال می‌شود. موج سیگنال چنین سیگنالی به عنوان تابع ضربه‌ای نمایش داده می‌شود. اگر مقدار این تابع یک باشد، آنگاه تابع را تابع ضربه‌ای واحد می‌نامند. مشتق زمانی اول تابع پله‌ای تابع ضربه‌ای است. بنابراین تبدیل لاپلاس تابع ضربه‌ای واحد همان تبدیل لاپلاس مشتق زمانی اول تابع پله‌ای واحد است.
شکل 6.2.4
پاسخ زمانی سیستم‌های کنترل مرتبه اول
وقتی که توان بیشینه s در مخرج تابع انتقال یک است، تابع انتقال یک سیستم کنترل مرتبه اول را نشان می‌دهد. معمولاً، یک سیستم کنترل مرتبه اول می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود
پاسخ زمانی برای تابع پله‌ای
حالا یک ورودی پله‌ای واحد به سیستم داده می‌شود، بگذارید عبارت خروجی را تحلیل کنیم:
شکل 6.3.2
از معادله خطای مشاهده می‌شود که اگر زمان به سمت بی‌نهایت میل کند، سیگنال خروجی به صورت نمایی به مقدار پایدار یک واحد می‌رسد. چون خروجی به طور نمایی به ورودی می‌رسد، خطای پایدار وقتی زمان به سمت بی‌نهایت میل کند صفر است.
بگذارید t = T را در معادله خروجی قرار دهیم و آنگاه داریم
این T به عنوان ثابت زمانی پاسخ تعریف می‌شود و ثابت زمانی یک سیگنال پاسخ زمانی است که سیگنال به 63.2٪ از مقدار نهایی خود می‌رسد. حالا اگر t = 4T را در معادله پاسخ خروجی بالا قرار دهیم، آنگاه داریم
وقتی که مقدار واقعی پاسخ به 98٪ از مقدار مورد نظر خود می‌رسد، سیگنال به حالت پایدار خود رسیده است. این زمان مورد نیاز برای رسیدن سیگنال به 98٪ از مقدار مورد نظر خود را زمان تنظیم می‌نامند و به طور طبیعی زمان تنظیم چهار برابر ثابت زمانی پاسخ است. حالت پاسخ قبل از زمان تنظیم حالت موقتی نامیده می‌شود و حالت پاسخ بعد از زمان تنظیم حالت پایدار نامیده می‌شود. از این توضیحات مشخص است که اگر ثابت زمانی سیستم کوچک‌تر باشد، پاسخ سیستم به حالت پایدار خود سریع‌تر می‌رسد.
پاسخ زمانی برای تابع شیب‌دار
