Tijddomeinanalyse van het regelsysteem

In een regelingsysteem kunnen er energieopslag-elementen aan verbonden zijn. Energieopslag-elementen zijn meestal spoelen en condensatoren in het geval van een elektrisch systeem. Door de aanwezigheid van deze energieopslag-elementen zal, als de energietoestand van het systeem wordt verstoord, een bepaalde tijd nodig zijn om van de ene energietoestand naar de andere over te gaan. De exacte tijd die het systeem nodig heeft om van de ene energietoestand naar de andere over te gaan, wordt transitietijd genoemd en de waarde en patroon van spanningen en stromen gedurende deze periode worden de transitie-respons genoemd.

Een transitie-respons is meestal geassocieerd met een oscillatie, die stabiel of afnemend van aard kan zijn. De exacte aard van het systeem hangt af van de parameters van het systeem. Elk systeem kan worden weergegeven door middel van een lineaire differentiaalvergelijking. De oplossing van deze lineaire differentiaalvergelijking geeft de respons van het systeem. De weergave van een regelingsysteem door middel van een lineaire differentiaalvergelijking van functies van de tijd en de oplossing daarvan wordt gezamenlijk aangeduid als tijd domeinanalyse van het regelingsysteem.

Stapfunctie

Laten we een onafhankelijke spanningsbron of een accu nemen die via een schakelaar s aan een voltmeter is aangesloten. Het is duidelijk uit de figuur hieronder, dat wanneer de schakelaar s open staat, de spanning tussen de voltmeter-terminals nul is. Als de spanning tussen de voltmeter-terminals wordt voorgesteld als v (t), kan de situatie wiskundig worden weergegeven als

Nu laten we ons voorstellen dat bij t = 0 de schakelaar wordt gesloten en de accuspanning V volt direct over de voltmeter verschijnt, en deze situatie kan worden weergegeven als,

Door de bovenstaande twee vergelijkingen te combineren krijgen we

In de bovenstaande vergelijkingen, als we 1 plaatsen in plaats van V, krijgen we een eenheidsstapfunctie die gedefinieerd kan worden als

Nu laten we de Laplacetransformatie van de eenheidsstapfunctie onderzoeken. De Laplacetransformatie van elke functie kan worden verkregen door deze functie te vermenigvuldigen met e-st en de vermenigvuldiging te integreren van 0 tot oneindig.
Figuur 6.2.1

Als de invoer R(s) is, dan

Rampfunctie

De functie die wordt weergegeven door een schuin rechte lijn die de oorsprong snijdt, wordt rampfunctie genoemd. Dat betekent dat deze functie begint bij nul en lineair toeneemt of afneemt met de tijd. Een rampfunctie kan worden weergegeven als,

Hier in deze bovenstaande vergelijking, k is de helling van de lijn.
Figuur 6.2.2
Nu laten we de Laplacetransformatie van de rampfunctie onderzoeken. Zoals we eerder hebben verteld, kan de Laplacetransformatie van elke functie worden verkregen door deze functie te vermenigvuldigen met e-st en de vermenigvuldiging te integreren van 0 tot oneindig.

Parabolische functie

Hier is de waarde van de functie nul wanneer de tijd t<0 en kwadratisch wanneer de tijd t > 0. Een parabolische functie kan worden gedefinieerd als,

Nu laten we de Laplacetransformatie van de parabolische functie onderzoeken. Zoals we eerder hebben verteld, kan de Laplacetransformatie van elke functie worden verkregen door deze functie te vermenigvuldigen met e-st en de vermenigvuldiging te integreren van 0 tot oneindig.
Figuur 6.2.3

Impulsfunctie

Een impuls signaal wordt geproduceerd wanneer de invoer plotseling voor een oneindig kleine duur aan het systeem wordt toegepast. De golfform van zo'n signaal wordt weergegeven als impulsfunctie. Als de magnitude van zo'n functie gelijk is aan één, wordt de functie eenheidsimpulsfunctie genoemd. De eerste tijdafgeleide van de stapfunctie is de impulsfunctie. Daarom is de Laplacetransformatie van de eenheidsimpulsfunctie niets anders dan de Laplacetransformatie van de eerste-tijdafgeleide van de eenheidsstapfunctie.
Figuur 6.2.4

Tijdrespons van eerste orde regelsystemen

Wanneer de maximale macht van s in de noemer van een overdrachtsfunctie één is, stelt de overdrachtsfunctie een eerste orde regelsysteem voor. Gewoonlijk kan het eerste orde regelsysteem worden weergegeven als

Tijdrespons voor stapfunctie

Nu wordt een eenheidsstap-invoer aan het systeem gegeven, laten we dan de uitdrukking van de uitvoer analyseren:

Figuur 6.3.2Uit de foutvergelijking blijkt dat als de tijd nadert naar oneindig, het uitvoersignaal exponentieel naar de stationaire waarde van één eenheid gaat. Aangezien de uitvoer exponentieel naar de invoer nadert, is de stationaire fout nul wanneer de tijd nadert naar oneindig.

Laten we t = T in de uitvoervergelijking invullen en dan krijgen we,

Deze T wordt gedefinieerd als de tijdconstante van de respons en de tijdconstante van een responssignaal is de tijd waarin het signaal 63,2 % van zijn eindwaarde bereikt. Nu, als we t = 4T in de bovenstaande uitvoervergelijking invullen, krijgen we,

Wanneer de werkelijke waarde van de respons 98% van de gewenste waarde bereikt, wordt het signaal gezegd in zijn stationaire toestand te zijn. Deze benodigde tijd om het signaal 98 % van de gewenste waarde te bereiken, wordt instel-tijd genoemd en de instel-tijd is vier keer de tijdconstante van de respons. De toestand van de respons voor de instel-tijd wordt transiënte toestand genoemd en de toestand van de respons na de instel-tijd wordt stationaire toestand genoemd. Uit deze uitleg blijkt duidelijk dat als de tijdconstante van het systeem kleiner is, de respons van het systeem sneller in zijn stationaire toestand komt.

Tijdrespons voor rampfunctie