Tidsdomänanalys av styrsystem
I ett reglersystem kan det finnas några energilagringskomponenter kopplade till det. Energilagringskomponenter är vanligtvis spolar och kondensatorer i fallet med ett elektriskt system. P.g.a. dessa energilagringskomponenter, om energitillståndet i systemet störs, kommer det att ta en viss tid för att ändra från ett energitillstånd till ett annat. Den exakta tiden som systemet tar för att ändra från ett energitillstånd till ett annat kallas övergångstid och värdet och mönstret för spänningar och strömmar under denna period kallas övergångsrespons.
En övergångsrespons är normalt associerad med en svängning, vilken kan vara hållbar eller avtagande i sin natur. Den exakta karaktären hos systemet beror på parametrarna för systemet. Ett system kan representeras med en linjär differentialekvation. Lösningen av denna linjära differentialekvation ger responsen från systemet. Representeringen av ett reglersystem genom en linjär differentialekvation av funktioner av tid och dess lösning kallas tillsammans tidsdomänanalys av reglersystemet.
Stegfunktion
Låt oss ta en oberoende spänningskälla eller en batteri som är ansluten till en voltmätare via en strömknapp, s. Det är tydligt från figuren nedan, när strömknappen s är öppen, är spänningen mellan voltmätarnas terminaler noll. Om spänningen mellan voltmätarnas terminaler representeras som v (t), kan situationen matematiskt representeras som
Nu låt oss anta att vid t = 0, strömknappen stängs och omedelbart dyker batterispänningen V volt upp över voltmätaren och denna situation kan representeras som,
Genom att kombinera de två ovanstående ekvationerna får vi
I de ovanstående ekvationerna, om vi sätter 1 istället för V, får vi en enhetsstegfunktion som kan definieras som
Nu låt oss undersöka Laplace-transformen av enhetsstegfunktion. Laplace-transformen av en funktion kan erhållas genom att multiplicera denna funktion med e-st och integrera den multiplicerade från 0 till oändlighet.
Fig 6.2.1
Om inmatningen är R(s), då
Rampliknande funktion
Funktionen som representeras av en lutande rak linje som skär origo kallas rampliknande funktion. Det betyder att denna funktion börjar från noll och ökar eller minskar linjärt med tiden. En rampliknande funktion kan representeras som,
Här i denna ovanstående ekvation, k är lutningen på linjen.
Fig 6.2.2
Nu låt oss undersöka Laplace-transformen av rampliknande funktion. Som vi sa tidigare, kan Laplace-transformen av en funktion erhållas genom att multiplicera denna funktion med e-st och integrera den multiplicerade från 0 till oändlighet.
Parabelfunktion
Här är värdet av funktionen noll när tid t<0 och är kvadratisk när tid t > 0. En parabelfunktion kan definieras som,
Nu låt oss undersöka Laplace-transformen av parabelfunktion. Som vi sa tidigare, kan Laplace-transformen av en funktion erhållas genom att multiplicera denna funktion med e-st och integrera den multiplicerade från 0 till oändlighet.
Fig 6.2.3
Pulsliknande funktion
Pulssignal produceras när inmatningen plötsligt appliceras till systemet under en infinitesimal tid. Formen av sådant signal representeras som pulsliknande funktion. Om magnituden av sådan funktion är enhetlig, kallas funktionen för enhetspulsfunktion. Första tiderivatan av stegfunktion är pulsliknande funktion. Därför är Laplace-transformen av enhetspulsfunktion inget annat än Laplace-transformen av första tiderivatan av enhetsstegfunktion.
Fig 6.2.4
Tidsrespons för första ordningens reglersystem
När den maximala effekten av s i nämnaren av en överföringsfunktion är en, representerar överföringsfunktionen ett första ordningens reglersystem. Vanligtvis kan första ordningens reglersystem representeras som
Tidsrespons för stegfunktion
Nu ges en enhetssteginmatning till systemet, låt oss analysera uttrycket för utmatningen:
Fig 6.3.2Det ses från feluttrycket att om tiden närmar sig oändligheten, når utmatningssignalen exponentiellt upp till den stationära värdet av en enhet. Eftersom utmatningen närmar sig inmatningen exponentiellt, är det stationära felet noll när tiden närmar sig oändligheten.
Låt oss sätta t = T i utmatningsuttrycket och då får vi,
Denna T definieras som tidskonstanten för responsen och tidskonstanten för en responssignal är den tid för vilken signalen når 63.2 % av sitt slutliga värde. Nu, om vi sätter t = 4T i ovanstående utmatningsresponsuttryck, då får vi,
När det faktiska värdet av responsen når 98% av det önskade värdet, anses signalen ha nått sitt stationära tillstånd. Den här krävda tiden för att nå 98 % av det önskade värdet kallas inställningstid och naturligtvis är inställningstiden fyra gånger tidskonstanten för responsen. Tillståndet för responsen innan inställningstiden kallas övergångstillstånd och tillståndet för responsen efter inställningstiden kallas stationärt tillstånd. Utifrån denna förklaring är det klart att om tidskonstanten för systemet är mindre, når responsen från systemet sitt stationära tillstånd snabbare.
Tidsrespons för rampliknande funktion
I detta fall, under det stationära tillståndet, följer utmatningssignalen efter inmatningssignalen med en tid lika med tidskonstanten för systemet. Om tidskonstanten för systemet är mindre, blir positionella felet för responsen lägre.
