ナイキストプロットとは？（そしてどのように描くか）

ニキストプロットとは

ニキストプロット（またはニキスト図）は、制御工学および信号処理で使用される周波数応答プロットです。ニキストプロットは、フィードバックを持つ制御システムの安定性を評価するために一般的に使用されます。直交座標系では、伝達関数の実部がX軸に、虚部がY軸にプロットされます。

周波数がパラメータとしてスイープされ、その結果、周波数に基づくプロットが生成されます。同じニキストプロットは極座標を使用して説明することもでき、伝達関数のゲインが径方向の座標、伝達関数の位相が対応する角度座標となります。

フィードバック制御システムの安定性分析は、特性方程式の根がs平面のどの位置にあるかを特定することに基づいています。

根がs平面の左半分に存在する場合、システムは安定しています。システムの相対的な安定性は、ニキストプロット、ニコルスプロット、およびボードプロットなどの周波数応答法を使用して決定できます。

ニキスト安定性基準は、特性方程式の根がs平面の指定された領域に存在するかどうかを特定するために使用されます。

ニキストプロットを理解するためには、いくつかの用語について学ぶ必要があります。複素平面上の閉路は輪郭と呼ばれます。

ニキストパスまたはニキスト輪郭

ニキスト輪郭は、s平面の右半分全体を完全に囲むs平面内の閉輪郭です。

s平面のRHS全体を囲むために、直径がjω軸に沿って中心が原点となる大きな半円形のパスが描かれます。この半円の半径はニキスト包囲とみなされます。

ニキスト包囲

点が輪郭内に存在する場合、その点は輪郭によって包囲されていると言えます。

ニキスト写像

s平面上の点がF(s)平面上の点に変換される過程を写像と呼び、F(s)は写像関数と呼ばれます。

ニキストプロットの描き方

ニキストプロットを描くには以下の手順があります：

• ステップ1 – G(s) H(s)のjω軸上の極、特に原点での極を確認します。

• ステップ2 – 適切なニキスト輪郭を選択します - a) 半径Rの半円を描き、Rが無限大に近づくようにして、s平面の右半分全体を含めます。

• ステップ3 – ニキストパスを参照して輪郭上のさまざまなセグメントを特定します。

• ステップ4 – それぞれのセグメントの式をマッピング関数に代入することで、セグメントごとにマッピングを行います。基本的に、各セグメントの極座標プロットを描きます。

• ステップ5 – セグメントのマッピングは通常、+ve虚軸の対応するパスのマッピングの鏡像となります。

• ステップ6 – s平面の右半分をカバーする半円形のパスは、通常、G(s) H(s)平面上の一点にマッピングされます。

• ステップ7- 異なるセグメントのマッピングを接続して、必要なニキスト図を作成します。

• ステップ8 – (-1, 0)周りの時計回りの包囲回数を記録し、N = Z – Pにより安定性を決定します。

は開ループ伝達関数（O.L.T.F）です。

は閉ループ伝達関数（C.L.T.F）です。
N(s) = 0 は開ループ零点であり、D(s) は開ループ極です。
安定性の観点から、閉ループ極はs平面のRH側に存在すべきではありません。特性方程式 1 + G(s) H(s) = 0 は閉ループ極を表します。

ここで 1 + G(s) H(s) = 0 であるため q(s) もゼロでなければなりません。

したがって、安定性の観点からは q(s) の零点はs平面のRHPに存在しないべきです。
安定性を定義するために、RHP（Right-Hand Plane）全体が考慮されます。半径 R が無限大に近づく半円を考え、RHPのすべての点を囲みます [R → ∞]。

ニキスト基準を制御システムの安定性の判定に適用する最初のステップは、s平面からG(s) H(s)平面への写像です。

sは独立した複素変数と見なし、対応するG(s) H(s)の値は別の複素平面上、すなわちG(s) H(s)平面上に依存変数としてプロットされます。

したがって、s平面上の各点に対応するG(s) H(s)平面上の点が存在します。マッピングの過程では、独立変数sがs平面上の指定されたパスに沿って変化させられ、対応するG(s)H(s)平面上の点が接続されます。これにより、s平面上からG(s)H(s)平面上へのマッピングが完了します。

ニキスト安定性基準によれば N = Z – P です。ここで、N は原点周りの全包囲回数、P は全極の数、Z は全零点の数です。
ケース1: N = 0 (包囲なし)、よって Z = P = 0 かつ Z = P
N = 0 の場合、P はゼロでなければならないため、システムは安定しています。
ケース2: N > 0 (時計回りの包囲)、よって P = 0, Z ≠0 かつ Z > P
どちらの場合も、システムは不安定です。
ケース3: N < 0 (反時計回りの包囲)、よって Z = 0, P ≠0 かつ P > Z
システムは安定しています。

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