Nyquist Plot: 무엇인가? (그리는 방법)

Nyquist Plot이란 무엇인가?

Nyquist plot (또는 Nyquist Diagram)은 제어 공학 및 신호 처리에서 사용되는 주파수 응답 플롯입니다. Nyquist 플롯은 피드백을 가진 제어 시스템의 안정성을 평가하는 데 일반적으로 사용됩니다. 직교 좌표계에서 전달 함수의 실수 부분은 X축에, 허수 부분은 Y축에 그려집니다.

주파수는 매개변수로 스윕되며, 이로 인해 주파수에 기반한 플롯이 생성됩니다. 동일한 Nyquist 플롯은 극좌표를 사용하여 설명할 수 있으며, 여기서 전달 함수의 이득은 방사형 좌표이고, 전달 함수의 위상은 해당 각도 좌표입니다.

피드백 제어 시스템의 안정성 분석은 특성 방정식의 근이 s-평면에서 어디에 위치하는지 식별하는 데 기반합니다.

근이 s-평면의 왼쪽에 위치하면 시스템은 안정적입니다. 시스템의 상대적인 안정성은 Nichols plot, Bode plot과 같은 주파수 응답 방법을 사용하여 결정할 수 있습니다.

Nyquist 안정성 기준은 특성 방정식의 근이 s-평면의 특정 영역에 존재하는지를 식별하는 데 사용됩니다.

Nyquist 플롯을 이해하기 위해서는 몇 가지 용어를 먼저 배워야 합니다. 복소 평면에서 닫힌 경로를 contour라고 합니다.

Nyquist 경로 또는 Nyquist Contour

Nyquist contour는 s-평면에서 완전히 오른쪽 반면을 포함하는 닫힌 contour입니다.

s-평면의 전체 RHS를 포함하기 위해 jω 축을 지름으로 하고 원점을 중심으로 하는 큰 반원 경로가 그려집니다. 반원의 반지는 Nyquist Encirclement로 취급됩니다.

Nyquist Encirclement

점이 contour 내부에 있으면 encircled이라고 합니다.

Nyquist Mapping

s-평면의 점이 F(s) 평면의 점으로 변환되는 과정을 mapping이라고 하며, F(s)는 mapping 함수라고 합니다.

Nyquist Plot 그리기

Nyquist 플롯은 다음 단계를 통해 그릴 수 있습니다:

• 단계 1 – G(s) H(s)의 jω 축을 포함한 극점 확인.

• 단계 2 – 적절한 Nyquist contour 선택 - a) 무한대로 R을 확장하는 반경 R의 반원을 그려 s-평면의 오른쪽 전체를 포함합니다.

• 단계 3 – Nyquist 경로를 기준으로 contour의 다양한 세그먼트 식별

• 단계 4 – 각 세그먼트의 방정식을 mapping 함수에 대입하여 세그먼트별로 mapping 수행. 기본적으로 각 세그먼트의 극좌표 플롯을 그립니다.

• 단계 5 – 세그먼트의 mapping은 일반적으로 +ve 허수 축의 경로의 mapping의 거울 이미지입니다.

• 단계 6 – s-평면의 오른쪽을 덮는 반원 경로는 일반적으로 G(s) H(s) 평면의 한 점으로 mapping됩니다.

• 단계 7- 다양한 세그먼트의 mapping을 연결하여 필요한 Nyquist 도표를 생성합니다.

• 단계 8 – (-1, 0) 주위의 시계 방향 회전 횟수 N을 기록하고 N = Z – P로 안정성을 판단합니다.

는 개루프 전달 함수(O.L.T.F)입니다.

는 폐루프 전달 함수(C.L.T.F)입니다.
N(s) = 0은 개루프 영점이며 D(s)는 개루프 극점입니다.
안정성 측면에서 s-평면의 RH 측에는 폐루프 극점이 없어야 합니다. 특성 방정식 1 + G(s) H(s) = 0은 폐루프 극점을 나타냅니다.

1 + G(s) H(s) = 0이므로 q(s)도 0이어야 합니다.

따라서 안정성 측면에서 q(s)의 영점은 s-평면의 RHP에 있지 않아야 합니다.
안정성을 정의하기 위해 전체 RHP(Right-Hand Plane)를 고려합니다. 반원의 반지름 R을 무한대로 확장하여 [R → ∞]로 설정하여 RHP의 모든 점을 포함하도록 합니다.

Nyquist 기준을 적용하여 제어 시스템의 안정성을 결정하는 첫 번째 단계는 s-평면에서 G(s) H(s) – 평면으로의 mapping입니다.

s는 독립적인 복소 변수로 간주되고, 해당 G(s) H(s) 값은 다른 복소 평면인 G(s) H(s) – 평면에서 종속 변수로 플롯됩니다.

따라서 s-평면의 모든 점마다 G(s) H(s) – 평면에 대응하는 점이 존재합니다. mapping 과정에서 독립 변수 s는 s-평면에서 지정된 경로를 따라 변화하며, G(s)H(s) 평면에서 해당하는 점들이 연결됩니다. 이를 통해 s-평면에서 G(s)H(s) – 평면으로의 mapping 과정이 완료됩니다.

Nyquist 안정성 기준은 N = Z – P입니다. 여기서 N은 원점 주위의 전체 회전 횟수, P는 전체 극점 수, Z는 전체 영점 수입니다.
Case 1: N = 0 (회전 없음), 따라서 Z = P = 0이고 Z = P
N = 0이면 P는 0이므로 시스템은 안정적입니다.
Case 2: N > 0 (시계 방향 회전), P = 0, Z ≠0이고 Z > P
두 경우 모두 시스템은 불안정합니다.
Case 3: N < 0 (반시계 방향 회전), Z = 0, P ≠0이고 P > Z
시스템은 안정적입니다.

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