Grafico di Nyquist: Cos'è? (E come disegnarlo)
Cosa è un diagramma di Nyquist
Un diagramma di Nyquist (o Diagramma di Nyquist) è un grafico di risposta in frequenza utilizzato nell'ingegneria del controllo e nel elaborazione dei segnali. I diagrammi di Nyquist sono comunemente utilizzati per valutare la stabilità di un sistema di controllo con retroazione. In coordinate cartesiane, la parte reale della funzione di trasferimento viene tracciata sull'asse X, mentre la parte immaginaria viene tracciata sull'asse Y.
La frequenza viene spazzata come parametro, risultando in un grafico basato sulla frequenza. Lo stesso diagramma di Nyquist può essere descritto utilizzando coordinate polari, dove il guadagno della funzione di trasferimento è la coordinata radiale, e la fase della funzione di trasferimento è la coordinata angolare corrispondente.
L'analisi della stabilità di un sistema di controllo a retroazione si basa sull'identificazione della posizione delle radici dell'equazione caratteristica sul piano s.
Il sistema è stabile se le radici si trovano sul lato sinistro del piano s. La stabilità relativa di un sistema può essere determinata utilizzando metodi di risposta in frequenza – come il diagramma di Nyquist, il diagramma di Nichols e il diagramma di Bode.
Il criterio di stabilità di Nyquist viene utilizzato per identificare la presenza di radici di un'equazione caratteristica in una regione specifica del piano s.
Per comprendere un diagramma di Nyquist, dobbiamo prima imparare alcune terminologie. Si noti che un percorso chiuso in un piano complesso è chiamato contorno.
Percorso o contorno di Nyquist
Il contorno di Nyquist è un contorno chiuso nel piano s che racchiude completamente l'intera metà destra del piano s.
Per racchiudere l'intera metà destra del piano s, viene disegnato un semicerchio di grande dimensione con il diametro lungo l'asse jω e il centro all'origine. Il raggio del semicerchio è considerato come l'incircolamento di Nyquist.
Incircolamento di Nyquist
Un punto si dice incircolato da un contorno se si trova all'interno del contorno.
Mappatura di Nyquist
Il processo attraverso cui un punto nel piano s viene trasformato in un punto nel piano F(s) è chiamato mappatura e F(s) è chiamata funzione di mappatura.
Come disegnare un diagramma di Nyquist
Un diagramma di Nyquist può essere disegnato utilizzando i seguenti passaggi:
Passo 1 – Verifica i poli di G(s) H(s) sull'asse jω, inclusi quelli all'origine.
Passo 2 – Seleziona il contorno di Nyquist appropriato – a) Includi l'intera metà destra del piano s disegnando un semicerchio di raggio R con R tendente all'infinito.
Passo 3 – Identifica i vari segmenti sul contorno con riferimento al percorso di Nyquist.
Passo 4 – Esegui la mappatura segmento per segmento sostituendo l'equazione per il segmento corrispondente nella funzione di mappatura. Fondamentalmente, dobbiamo disegnare i diagrammi polari dei rispettivi segmenti.
Passo 5 – La mappatura dei segmenti è solitamente l'immagine speculare della mappatura del rispettivo percorso dell'asse immaginario positivo.
Passo 6 – Il percorso semicircolare che copre la metà destra del piano s generalmente si mappa in un punto nel piano G(s) H(s).
Passo 7- Collega tutte le mappe dei diversi segmenti per ottenere il diagramma di Nyquist richiesto.
Passo 8 – Osserva il numero di incircolamenti orari intorno a (-1, 0) e decidi la stabilità utilizzando N = Z – P.
è la funzione di trasferimento a ciclo aperto (O.L.T.F)
è la funzione di trasferimento a ciclo chiuso (C.L.T.F)
N(s) = 0 è lo zero a ciclo aperto e D(s) è il polo a ciclo aperto
Dal punto di vista della stabilità, nessun polo a ciclo chiuso dovrebbe trovarsi sul lato destro del piano s. L'equazione caratteristica 1 + G(s) H(s) = 0 indica i poli a ciclo chiuso .
Ora, poiché 1 + G(s) H(s) = 0, anche q(s) dovrebbe essere zero.
Pertanto, dal punto di vista della stabilità, gli zeri di q(s) non dovrebbero trovarsi nel semipiano destro del piano s.
Per definire la stabilità, si considera l'intero semipiano destro (RHP). Si assume un semicerchio che racchiude tutti i punti nel semipiano destro, considerando il raggio del semicerchio R tendente all'infinito [R → ∞].
Il primo passo per comprendere l'applicazione del criterio di Nyquist in relazione alla determinazione della stabilità dei sistemi di controllo è la mappatura dal piano s al piano G(s) H(s).
s viene considerato una variabile complessa indipendente e il valore corrispondente di G(s) H(s) è la variabile dipendente tracciata in un altro piano complesso chiamato piano G(s) H(s).
Quindi, per ogni punto nel piano s, esiste un punto corrispondente nel piano G(s) H(s). Durante il processo di mappatura, la variabile indipendente s viene variata lungo un percorso specifico nel piano s, e i punti corrispondenti nel piano G(s)H(s) vengono uniti. Questo completa il processo di mappatura dal piano s al piano G(s)H(s).
Il criterio di stabilità di Nyquist dice che N = Z – P. Dove, N è il numero totale di incircolamenti intorno all'origine, P è il numero totale di poli e Z è il numero totale di zeri.
Caso 1: N = 0 (nessun incircolamento), quindi Z = P = 0 e Z = P
Se N = 0, P deve essere zero, quindi il sistema è stabile.
Caso 2: N > 0 (incircolamento orario), quindi P = 0, Z ≠0 e Z > P
In entrambi i casi, il sistema è instabile.
Caso 3: N < 0 (incircolamento antiorario), quindi Z = 0, P ≠0 e P > Z
Il sistema è stabile.
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