Gràfic de Nyquist: Què és? (I com fer-ne un)

Què és un diagrama de Nyquist

Un diagrama de Nyquist (o Diagrama de Nyquist) és un gràfic de resposta en freqüència utilitzat en enginyeria de control i processament de senyals. Els diagrames de Nyquist s'utilitzen sovint per avaluar la estabilitat d'un sistema de control amb retroalimentació. En coordenades cartesianes, la part real de la funció de transferència es representa a l'eix X, i la part imaginària a l'eix Y.

La freqüència es barreja com a paràmetre, resultant en un gràfic basat en la freqüència. El mateix diagrama de Nyquist es pot descriure utilitzant coordenades polars, on el guany de la funció de transferència és la coordenada radial, i la fase de la funció de transferència és la coordenada angular corresponent.

L'anàlisi de la estabilitat d'un sistema de control amb retroalimentació es basa en identificar la ubicació de les arrels de l'equació característica al pla s.

El sistema és estable si les arrels es troben a la meitat esquerra del pla s. La estabilitat relativa d'un sistema es pot determinar utilitzant mètodes de resposta en freqüència – com el diagrama de Nyquist, el diagrama de Nichols, i el diagrama de Bode.

El criteri de stabilitat de Nyquist s'utilitza per identificar la presència d'arrels d'una equació característica en una regió especificada del pla s.

Per entendre un diagrama de Nyquist, primer hem d'aprendre algunes terminologies. Noteu que un camí tancat en un pla complex s'anomena contorn.

Cami de Nyquist o Contorn de Nyquist

El contorn de Nyquist és un contorn tancat al pla s que enclos tota la meitat dreta del pla s.

Per enclos tota la RHS del pla s, es dibuixa un camí semicircular gran amb un diàmetre al llarg de l'eix jω i el centre a l'origen. El radi del semicercle es tracta com a Encerclament de Nyquist.

Encerclament de Nyquist

Es diu que un punt està encerclat per un contorn si es troba dins del contorn.

Mapeig de Nyquist

El procés pel qual un punt al pla s es transforma en un punt al pla F(s) es coneix com a mapeig i F(s) es coneix com a funció de mapeig.

Com dibuixar un diagrama de Nyquist

Un diagrama de Nyquist es pot dibuixar seguint els passos següents:

• Pas 1 – Comprova els pols de G(s) H(s) de l'eix jω, inclos el que es troba a l'origen.

• Pas 2 – Selecciona el contorn de Nyquist adequat – a) Inclou tota la meitat dreta del pla s dibuixant un semicercle de radi R amb R tendint a infinit.

• Pas 3 – Identifica els diversos segments al contorn amb referència al camí de Nyquist.

• Pas 4 – Realitza el mapeig segment a segment substituint l'equació del segment respectiu a la funció de mapeig. Bàsicament, hem de dibuixar els gràfics polars del segment respectiu.

• Pas 5 – El mapeig dels segments sovint són imatges especulars del mapeig del camí respectiu de l'eix imaginari positiu.

• Pas 6 – El camí semicircular que cobreix la meitat dreta del pla s generalment es mapa en un punt al pla G(s) H(s).

• Pas 7- Interconnecta tots els mapes dels diferents segments per a obtenir el diagrama de Nyquist requerit.

• Pas 8 – Apunta el nombre d'encerclaments en sentit horari al voltant de (-1, 0) i decideix la estabilitat mitjançant N = Z – P.

és la funció de transferència oberta (F.T.O)

és la funció de transferència tancada (F.T.T)
N(s) = 0 és el zero de bucle obert i D(s) és el pol de bucle obert
D'una perspectiva de la estabilitat, cap pol de bucle tancat no hauria de trobar-se a la meitat dreta del pla s. L'equació característica 1 + G(s) H(s) = 0 denota els pols de bucle tancat .

Ara, com 1 + G(s) H(s) = 0, per tant q(s) també hauria de ser zero.

Per tant, des d'una perspectiva de la estabilitat, els zeros de q(s) no haurien de trobar-se a la meitat dreta del pla s.
Per definir la estabilitat, s'considera tota la meitat dreta del pla (RHP). Assumim un semicercle que enclos tots els punts a la RHP considerant el radi del semicercle R tendint a infinit. [R → ∞].

El primer pas per entendre l'aplicació del criteri de Nyquist en relació a la determinació de la estabilitat dels sistemes de control és el mapeig del pla s al pla G(s) H(s).

s es considera una variable complexa independent i el valor corresponent de G(s) H(s) és la variable dependent representada en un altre pla complex anomenat pla G(s) H(s).

Així, per a cada punt al pla s, hi ha un punt corresponent al pla G(s) H(s). Durant el procés de mapeig, la variable independent s varia al llarg d'un camí especificat al pla s, i els punts corresponents al pla G(s)H(s) s'uneixen. Això completa el procés de mapeig del pla s al pla G(s)H(s).

El criteri de stabilitat de Nyquist diu que N = Z – P. On, N és el nombre total d'encerclaments al voltant de l'origen, P és el nombre total de pols i Z és el nombre total de zeros.
Cas 1: N = 0 (no hi ha encerclaments), per tant Z = P = 0 i Z = P
Si N = 0, P ha de ser zero, per tant el sistema és estable.
Cas 2: N > 0 (encerclaments en sentit horari), per tant P = 0, Z ≠0 i Z > P
En tots dos casos, el sistema és inestable.
Cas 3: N < 0 (encerclaments en sentit antihorari), per tant Z = 0, P ≠0 i P > Z
El sistema és estable.

Declaració: Respecta l'original, els bons articles mereixen ser compartits, si hi ha infracció de drets d'autor contacta per eliminar.