Nyquist Plot: Hvad er det? (Og hvordan tegner man en)

Hvad er et Nyquist-diagram?

Et Nyquist-diagram (eller Nyquist-plot) er en frekvensresponsplot brugt i reguleringsteknik og signalbehandling. Nyquist-diagrammer anvendes ofte til at vurdere stabiliteten af et reguleringssystem med feedback. I kartesiske koordinater plottes den reelle del af overførselsfunktionen på X-aksen, og den imaginære del plottes på Y-aksen.

Frekvensen gennemløbes som en parameter, hvilket resulterer i et plot baseret på frekvens. Det samme Nyquist-diagram kan beskrives ved hjælp af polære koordinater, hvor forstærkningsgraden af overførselsfunktionen er den radielle koordinat, og fasen af overførselsfunktionen er den tilsvarende vinkelkoordinat.

Stabilitetsanalyse af et feedback reguleringssystem baserer sig på at identificere placeringen af rodene i karakteristiske ligninger på s-planen.

Systemet er stabil, hvis rodene ligger på venstre side af s-planen. Den relative stabilitet af et system kan bestemmes ved hjælp af frekvensresponsmetoder – såsom Nyquist-diagram, Nichols-plot, og Bode-plot.

Nyquist-stabilitetskriteriet anvendes til at identificere tilstedeværelsen af rodene i en karakteristisk ligning i en specificeret region af s-planen.

For at forstå et Nyquist-diagram skal vi først lære om nogle terminologier. Bemærk, at et lukket sti i et komplekst plan kaldes en kontur.

Nyquist-sti eller Nyquist-kontur

Nyquist-konturen er en lukket kontur i s-planen, der fuldstændigt omslutter hele højre halvdelen af s-planen.

For at omslutte hele RHS af s-planen tegnes en stor halvcirkelsti med diameter langs jω-aksen og centrum i origo. Radius af halvcirklen behandles som Nyquist-omslutning.

Nyquist-omslutning

En punkt siges at være omsluttet af en kontur, hvis det findes indeni konturen.

Nyquist-mapping

Processen, hvorved et punkt i s-planen bliver transformeret til et punkt i F(s)-planen, kaldes mapping, og F(s) kaldes mappningsfunktionen.

Hvordan man tegner et Nyquist-diagram

Et Nyquist-diagram kan tegnes ved hjælp af følgende trin:

• Trin 1 – Kontroller for pilerne i G(s) H(s) på jω-aksen, herunder den i origo.

• Trin 2 – Vælg den korrekte Nyquist-kontur – a) Inkluder hele højre halvdelen af s-planen ved at tegne en halvcirkel med radius R, hvor R går mod uendelig.

• Trin 3 – Identificer de forskellige segmenter på konturen med henvisning til Nyquist-stien

• Trin 4 – Udfør mappningen segment for segment ved at indsætte ligningen for det pågældende segment i mappningsfunktionen. Grunden er, at vi skal tegne polarplot for det pågældende segment.

• Trin 5 – Mappningen af segmenterne er normalt spejlbilleder af mappningen af den tilsvarende sti på +ve imaginære akse.

• Trin 6 – Den halvcirkelformede sti, der dækker højre halvdelen af s-planen, mapper normalt til et punkt i G(s) H(s)-planen.

• Trin 7- Forbind alle mappningerne af de forskellige segmenter for at give det ønskede Nyquist-diagram.

• Trin 8 – Noter antallet af uretsgående omslutninger om (-1, 0) og bestem stabilitet ved N = Z – P

er åben løkke-overførselsfunktion (O.L.T.F)

er lukket løkke-overførselsfunktion (C.L.T.F)
N(s) = 0 er den åbne løkke-nul og D(s) er den åbne løkke-pil
Fra et stabilitetsperspektiv bør ingen lukkede løkke-piler ligge på RH-side af s-planen. Karakteristikligningen 1 + G(s) H(s) = 0 betegner lukkede løkke-piler .

Nu da 1 + G(s) H(s) = 0, bør q(s) også være nul.

Derfor, fra et stabilitetsperspektiv bør nullerne i q(s) ikke ligge i RHP af s-planen.
Til at definere stabilitet tages hele RHP (Right-Hand Plane) i betragtning. Vi antager en halvcirkel, der omslutter alle punkter i RHP ved at betragte radius af halvcirklen R går mod uendelig. [R → ∞].

Det første trin i forståelsen af anvendelsen af Nyquist-kriteriet i forhold til fastsættelsen af stabiliteten af reguleringssystemer er mappning fra s-planen til G(s) H(s)-planen.

s betragtes som en uafhængig kompleks variabel, og den tilsvarende værdi af G(s) H(s) er den afhængige variabel, der tegnes i et andet komplekst plan kaldet G(s) H(s)-planen.

Således findes der et tilsvarende punkt i G(s) H(s)-planen for hvert punkt i s-planen. Under mappningsprocessen varieres den uafhængige variabel s langs en specificeret sti i s-planen, og de tilsvarende punkter i G(s)H(s)-planen forbinder. Dette afslutter processen med mappning fra s-planen til G(s)H(s)-planen.

Nyquist-stabilitetskriteriet siger, at N = Z – P. Hvor, N er det totale antal omslutninger omkring origo, P er det totale antal piler, og Z er det totale antal nuller.
Tilfælde 1: N = 0 (ingen omslutning), så Z = P = 0 og Z = P
Hvis N = 0, må P være nul, og systemet er stabil.
Tilfælde 2: N > 0 (uretsgående omslutning), så P = 0, Z ≠0 og Z > P
I begge tilfælde er systemet ustabil.
Tilfælde 3: N < 0 (med uretsgående omslutning), så Z = 0, P ≠0 og P > Z
Systemet er stabil.

Erklæring: Respekter det originale, godt artikler fortjener at deles, hvis der er overskridelse af rettigheder kontakt til sletning.