نائقوئسٹ پلات: یہ کیا ہے؟ (اور ایک کو کیسے بنایا جائے)

Nyquist Plot کیا ہے

ایک Nyquist plot (یا Nyquist Diagram) کنٹرول مهندسی اور سگنل پروسیسنگ میں استعمال ہونے والا فریکوئنسی ریسپانس پلات ہوتا ہے۔ Nyquist plots عام طور پر فیڈ بیک سسٹم کی استحکام کا جائزہ لینے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ کارٹیزین کوآرڈینیٹس میں، ترانسفر فنکشن کا حقیقی حصہ X-axies پر اور خیالی حصہ Y-axies پر درج کیا جاتا ہے۔

فریکوئنسی پیرامیٹر کے طور پر سوئپ کیا جاتا ہے، جس کے نتیجے میں فریکوئنسی پر مبنی ایک پلات بناتا ہے۔ ایک ہی Nyquist plot کو قطبی کوآرڈینیٹس کے ذریعے بھی وضاحت کیا جا سکتا ہے، جہاں ترانسفر فنکشن کا gain شعاعی کوآرڈینیٹ ہوتا ہے اور ترانسفر فنکشن کا phase متعلقہ زاویہ کوآرڈینیٹ ہوتا ہے۔

فیڈ بیک کنٹرول سسٹم کی استحکام کا جائزہ لینا مشخص کرنے پر مبنی ہے کہ سیمنٹک کے ریاضی کے ریشے s-پلین پر کہاں واقع ہیں۔

اگر ریشے s-پلین کے بائیں جانب واقع ہیں تو سسٹم استحکام یافتہ ہوتا ہے۔ ایک سسٹم کی نسبی استحکام کو فریکوئنسی ریسپانس کے طریقے سے متعین کیا جا سکتا ہے - جیسے Nyquist plot، Nichols plot، اور Bode plot۔

Nyquist stability criterion کا استعمال کر کے سیمنٹک کے ریاضی کے ریشے s-پلین کے مخصوص علاقے میں موجود ہونے کی پہچان کی جا سکتی ہے۔

Nyquist plot کو سمجھنے کے لیے ہمیں کچھ مصطلحات کے بارے میں پہلے سیکھنا ہوگا۔ نوٹ کریں کہ مختلط مستوی میں بند راستہ کو کنٹور کہا جاتا ہے۔

Nyquist Path or Nyquist Contour

Nyquist contour s-پلین میں ایک بند کنٹور ہے جو s-پلین کے پورے دائیں جانب کو مکمل طور پر احاطہ کرتا ہے۔

s-پلین کے پورے دائیں جانب کو مکمل طور پر احاطہ کرنے کے لیے، jω محور کے ساتھ قطر اور مرکز مبدا پر ایک بڑا نصف دائرہ راستہ کشیدا جاتا ہے۔ نصف دائرے کا رداس Nyquist Encirclement کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔

Nyquist Encirclement

اگر کسی نقطہ کو کنٹور کے اندر پایا جاتا ہے تو اسے encircled کہا جاتا ہے۔

Nyquist Mapping

ایک نقطہ s-پلین سے F(s) پلین میں تبدیل کرنے کے عمل کو mapping کہا جاتا ہے اور F(s) کو mapping function کہا جاتا ہے۔

Nyquist Plot کیسے بنایا جائے

Nyquist plot کو درج ذیل قدموں سے بنایا جا سکتا ہے:

• Step 1 – G(s) H(s) کے jω محور پر poles کی جانچ کریں جس میں مبدا شامل ہے۔

• Step 2 – مناسب Nyquist contour منتخب کریں – a) R کے ساتھ ایک نصف دائرہ کشیدا جاتا ہے جہاں R لامحدود کی طرف گذرتا ہے۔

• Step 3 – Nyquist path کے حوالے سے contour کے مختلف segments کی شناخت کریں۔

• Step 4 – mapping segment by segment کریں جہاں mapping function میں respective segment کا مساوات استعمال کی جاتی ہے۔ بنیادی طور پر ہم respective segment کا polar plot بناتے ہیں۔

• Step 5 – segments کی mapping عام طور پر +ve imaginary axis کے respective path کی mapping کی mirror image ہوتی ہے۔

• Step 6 – s plane کے دائیں جانب کو کور کرنے والے نصف دائرے کا عام طور پر G(s) H(s) plane میں ایک نقطہ بناتا ہے۔

• Step 7- different segments کی mapping کو ملانے سے مطلوبہ Nyquist diagram بن جاتا ہے۔

• Step 8 – (-1, 0) کے گرد clockwise encirclements کی تعداد کو نوٹ کریں اور N = Z – P کے ذریعے استحکام کا فیصلہ کریں۔

O.L.T.F ہے (Open loop transfer function)

C.L.T.F ہے (Closed loop transfer function)
N(s) = 0 open loop zero ہے اور D(s) open loop pole ہے
استحکام کے لحاظ سے s-پلین کے دائیں جانب کسی بھی closed loop poles نہیں ہونے چاہئے۔ Characteristics equation 1 + G(s) H(s) = 0 closed-loop poles کو ظاہر کرتا ہے۔

اب 1 + G(s) H(s) = 0 ہے تو q(s) بھی صفر ہونا چاہئے۔

لہذا، استحکام کے لحاظ سے q(s) کے zeroes s-پلین کے RHP میں نہیں ہونے چاہئے۔
استحکام کی تعریف کے لیے پورا RHP (Right-Hand Plane) دریافت کیا جاتا ہے۔ ہم ایک نصف دائرہ کا انتخاب کرتے ہیں جو R کے ساتھ RHP کے تمام نقاط کو احاطہ کرتا ہے جہاں R لامحدود کی طرف گذرتا ہے [R → ∞]۔

Nyquist criterion کے اطلاق کو سمجھنے کا پہلا قدم کنٹرول سسٹمز کی استحکام کی تعین کے لحاظ سے s-پلین سے G(s) H(s) – plane تک کی mapping ہے۔

s کو ایک مستقل complex variable سمجھا جاتا ہے اور G(s) H(s) کی متناسب قیمت کو دوسرے complex plane میں درج کیا جاتا ہے جسے G(s) H(s) – plane کہا جاتا ہے۔

اس طرح s-پلین کے ہر نقطے کے لیے G(s) H(s) – plane میں ایک متناسب نقطہ موجود ہوتا ہے۔ mapping کے دوران independent variable s کو s-پلین میں مخصوص راستے پر تبدیل کیا جاتا ہے اور G(s)H(s) plane میں متناسب نقاط کو جوڑا جاتا ہے۔ یہ s-پلین سے G(s)H(s) – plane تک کی mapping کا عمل مکمل کرتا ہے۔