Nyquist-diagram: Mi az? (És hogyan rajzoljunk egyet)

Mi a Nyquist-diagram?

A Nyquist-diagram (vagy Nyquist-szimbólum) egy gyakorisági válaszfüggvény, amelyet használnak a irányítástechnikában és a jelátviteli feldolgozásban. A Nyquist-diagramot gyakran alkalmazzák a visszacsatolt irányító rendszerek stabilitásának értékelésére. Descartes-féle koordinátákban a átviteli függvény valós részét az X-tengelyen, a képzetes részét pedig a Y-tengelyen ábrázolják.

A gyakoriság paraméterként végigmegy a szűrőn, ami eredményeképpen egy gyakoriságtól függő ábrázolást kapunk. Ugyanezt a Nyquist-diagramot polárkoordinátákkal is leírhatjuk, ahol az átviteli függvény nyeresége a sugárkoordináta, a fázisa pedig a megfelelő szögkoordináta.

A visszacsatolt irányító rendszer stabilitásának elemzése a jellemző egyenlet gyökeinek helyének meghatározására alapul az s-síkon.

A rendszer stabil, ha a gyökök a bal oldali fele az s-síkon helyezkednek el. A rendszer relatív stabilitása a gyakorisági válaszmódszerek segítségével határozható meg – például a Nyquist-diagram, a Nichols-diagram és a Bode-diagram segítségével.

A Nyquist-stabilitási kritérium felhasználható a jellemző egyenlet gyökeinek meghatározására az s-sík adott területén.

A Nyquist-diagram megértéséhez először tanulmányoznunk kell néhány terminológiát. Jelentse meg, hogy egy zárt út a komplex síkon kontúrnak nevezik.

Nyquist-út vagy Nyquist-kontúr

A Nyquist-kontúr egy zárt kontúr az s-síkon, amely teljesen bekeretezi az s-sík jobb oldali feleét.

Az s-sík jobb oldali feleének teljes bekeretezéséhez egy nagy félkör alakú útvonalat rajzolnak, amelynek átmérője a jω tengely mentén van, középpontja pedig az origóban. A félkör sugara a Nyquist-körülzárásként kezelik.

Nyquist-körülzárás

Egy pontot akkor mondjuk, hogy a kontúr bekerülte, ha a kontúron belül található.

Nyquist-leképezés

A folyamat, amellyel az s-síkon lévő pontot a G(s)H(s)-síkba transzformáljuk, leképezésnek nevezik, és a G(s)H(s) a leképezési függvény.

Hogyan rajzoljunk Nyquist-diagramot?

A Nyquist-diagramot a következő lépésekkel rajzolhatjuk:

• Lépés 1 – Ellenőrizze a G(s)H(s) pólusait a jω tengelyen, beleértve az origót is.

• Lépés 2 – Válassza ki a megfelelő Nyquist-kontúrt – a) Ossza be az s-sík teljes jobb oldalát egy R sugarú félkörrel, ahol R tart a végtelenhez.

• Lépés 3 – Azonosítsa a kontúron lévő különböző szegmenseket a Nyquist-út vonatkozásában.

• Lépés 4 – Végezze le a szegmensenkénti leképezést, behelyettesítve a megfelelő szegmens egyenletét a leképezési függvénybe. Alapvetően a szegmens polaris diagramját kell kirajzolni.

• Lépés 5 – A szegmens leképezése általában a +ve képzetes tengelyhez tartozó út leképezésének tükörképe.

• Lépés 6 – A félkör alakú út, amely lefedi az s-sík jobb oldalát, általában egy pontba leképezi a G(s)H(s) síkban.

• Lépés 7– Összekötse a különböző szegmensek leképezéseit, hogy a kívánt Nyquist-diagramot kapja.

• Lépés 8 – Jegyezze fel a (-1, 0) körüli óramutató járásával ellentétes körülzárások számát, és döntse el a stabilitást N = Z – P alapján.

az nyitott hurok átviteli függvény (O.L.T.F)

a zárt hurok átviteli függvény (C.L.T.F)
N(s) = 0 az nyitott hurok zérusa, D(s) pedig az nyitott hurok pólusa
A stabilitás szempontjából nézve, nincs olyan zárt hurok pólus, amely a s-sík jobb oldalán helyezkedik el. A karakterisztikus egyenlet 1 + G(s)H(s) = 0 a zárt hurok pólusait jelenti .

Mivel 1 + G(s)H(s) = 0, ezért q(s) is nulla kell legyen.

Tehát a stabilitás szempontjából q(s) zérusai nem szabad, hogy a s-sík jobb oldalán helyezkedjenek el.
A stabilitás meghatározásához a teljes jobb oldali síkot (RHP) veszik figyelembe. Egy félkört feltételezünk, amely az RHP összes pontját bekeretezi, ahol a félkör sugara R tart a végtelenhez. [R → ∞].

Az első lépés a Nyquist-kritérium alkalmazásának megértése a vezérlési rendszerek stabilitásának meghatározásában a s-síkból a G(s)H(s) síkba való leképezés.

Az s-et független komplex változónak tekintjük, és a G(s)H(s) megfelelő értékét a másik komplex síkban, a G(s)H(s) síkban ábrázoljuk, amely a függő változó.

Így minden pont esetén az s-síkon létezik egy megfelelő pont a G(s)H(s) síkban. A leképezés során az független változót, az s-t, egy meghatározott úton változtatják az s-síkon, és a G(s)H(s) síkban a megfelelő pontokat összekötik. Ez a leképezési folyamatot az s-síkból a G(s)H(s) síkba zárja le.

Nyquist-stabilitási kritérium szerint N = Z – P. Ahol, N a nullpont körüli körülzárási szám, P a pólusok teljes száma, Z pedig a zérusok teljes száma.