Nyquist-Diagramm: Was ist das? (Und wie man eines zeichnet)

Was ist ein Nyquist-Diagramm?

Ein Nyquist-Diagramm (oder Nyquist-Diagramm) ist ein Frequenzgangdiagramm, das in der Regelungstechnik und Signalverarbeitung verwendet wird. Nyquist-Diagramme werden häufig zur Beurteilung der Stabilität eines Regelkreises mit Rückkopplung eingesetzt. In kartesischen Koordinaten wird der Realteil der Übertragungsfunktion auf der X-Achse und der Imaginärteil auf der Y-Achse dargestellt.

Die Frequenz wird als Parameter durchlaufen, was zu einer frequenzabhängigen Darstellung führt. Das gleiche Nyquist-Diagramm kann auch in Polarkoordinaten beschrieben werden, wobei die Verstärkung der Übertragungsfunktion die radiale Koordinate und die Phase der Übertragungsfunktion die entsprechende Winkelkoordinate ist.

Die Stabilitätsanalyse eines Regelkreises basiert darauf, den Standort der Nullstellen der charakteristischen Gleichung in der s-Ebene zu identifizieren.

Das System ist stabil, wenn die Nullstellen sich auf der linken Seite der s-Ebene befinden. Die relative Stabilität eines Systems kann mithilfe von Frequenzgangmethoden – wie dem Nyquist-Diagramm, dem Nichols-Diagramm und dem Bode-Diagramm – bestimmt werden.

Das Nyquist-Stabilitätskriterium wird verwendet, um die Anwesenheit von Nullstellen einer charakteristischen Gleichung in einem bestimmten Bereich der s-Ebene festzustellen.

Um ein Nyquist-Diagramm zu verstehen, müssen wir zunächst einige Begriffe erlernen. Beachten Sie, dass ein geschlossener Pfad in einer komplexen Ebene als Kontur bezeichnet wird.

Nyquist-Pfad oder Nyquist-Kontur

Die Nyquist-Kontur ist eine geschlossene Kontur in der s-Ebene, die den gesamten rechten Halbkreis der s-Ebene vollständig umschließt.

Um den gesamten rechten Halbkreis der s-Ebene zu umschließen, wird ein großer Halbkreispfad gezeichnet, dessen Durchmesser entlang der jω-Achse liegt und dessen Mittelpunkt im Ursprung ist. Der Radius des Halbkreises wird als Nyquist-Umlauf bezeichnet.

Nyquist-Umlauf

Ein Punkt wird als von einer Kontur umschlossen bezeichnet, wenn er sich innerhalb der Kontur befindet.

Nyquist-Abbildung

Der Prozess, bei dem ein Punkt in der s-Ebene in einen Punkt in der F(s)-Ebene transformiert wird, wird als Abbildung bezeichnet, und F(s) wird als Abbildungsfunktion bezeichnet.

Wie man ein Nyquist-Diagramm zeichnet

Ein Nyquist-Diagramm kann mit den folgenden Schritten gezeichnet werden:

• Schritt 1 – Prüfen Sie die Pole von G(s) H(s) auf der jω-Achse, einschließlich des Ursprungs.

• Schritt 2 – Wählen Sie den geeigneten Nyquist-Pfad – a) Schließen Sie den gesamten rechten Teil der s-Ebene ein, indem Sie einen Halbkreis mit einem Radius R zeichnen, wobei R gegen unendlich strebt.

• Schritt 3 – Identifizieren Sie die verschiedenen Segmente auf dem Pfad in Bezug auf den Nyquist-Pfad.

• Schritt 4 – Führen Sie die Segmentierung segmentweise durch, indem Sie die Gleichung für das jeweilige Segment in die Abbildungsfunktion einsetzen. Im Grunde genommen müssen wir die Polardiagramme der jeweiligen Segmente skizzieren.

• Schritt 5 – Die Abbildungen der Segmente sind in der Regel Spiegelbilder der Abbildungen des entsprechenden Pfades der positiven imaginären Achse.

• Schritt 6 – Der Halbkreispfad, der den rechten Teil der s-Ebene abdeckt, wird in der Regel in einen Punkt in der G(s) H(s)-Ebene abgebildet.

• Schritt 7 – Verbinden Sie alle Abbildungen der verschiedenen Segmente, um das erforderliche Nyquist-Diagramm zu erhalten.

• Schritt 8 – Notieren Sie die Anzahl der im Uhrzeigersinn um (-1, 0) geführten Umläufe und entscheiden Sie über die Stabilität mit N = Z – P.

ist die offene Schleifenübertragungsfunktion (O.L.T.F).

ist die geschlossene Schleifenübertragungsfunktion (C.L.T.F)
N(s) = 0 ist die offene Schleifennullstelle und D(s) ist die offene Schleifenpolstelle
Aus Sicht der Stabilität sollten keine geschlossenen Schleifenpole auf der rechten Seite der s-Ebene liegen. Die charakteristische Gleichung 1 + G(s) H(s) = 0 kennzeichnet die geschlossenen Schleifenpole .

Da 1 + G(s) H(s) = 0, sollte auch q(s) gleich null sein.

Daher sollten aus Sicht der Stabilität die Nullstellen von q(s) nicht in der rechten Halbebene der s-Ebene liegen.
Zur Definition der Stabilität wird die gesamte rechte Halbebene (RHP) betrachtet. Wir nehmen einen Halbkreis an, der alle Punkte in der rechten Halbebene einschließt, indem wir den Radius des Halbkreises gegen unendlich streben lassen. [R → ∞].

Der erste Schritt, um das Nyquist-Kriterium in Bezug auf die Bestimmung der Stabilität von Regelkreisen zu verstehen, ist die Abbildung von der s-Ebene in die G(s) H(s)-Ebene.

s wird als unabhängige komplexe Variable betrachtet, und der entsprechende Wert von G(s) H(s) wird als abhängige Variable in einer anderen komplexen Ebene, der G(s) H(s)-Ebene, dargestellt.

Für jeden Punkt in der s-Ebene gibt es also einen entsprechenden Punkt in der G(s) H(s)-Ebene. Während des Abbildungsprozesses wird die unabhängige Variable s entlang eines vorgegebenen Pfads in der s-Ebene variiert, und die entsprechenden Punkte in der G(s)H(s)-Ebene werden verbunden. Dies vervollständigt den Abbildungsprozess von der s-Ebene in die G(s)H(s)-Ebene.

Das Nyquist-Stabilitätskriterium besagt, dass N = Z – P. Dabei ist N die Gesamtzahl der Umläufe um den Ursprung, P die Gesamtzahl der Pole und Z die Gesamtzahl der Nullstellen.
Fall 1: N = 0 (keine Umläufe), also Z = P = 0 und Z = P
Wenn N = 0, muss P gleich null sein, daher ist das System stabil.
Fall 2: N > 0 (Umläufe im Uhrzeigersinn), also P = 0, Z ≠0 und Z > P
In beiden Fällen ist das System instabil.
Fall 3: N < 0 (Gegen-Umläufe im Uhrzeigersinn), also Z = 0, P ≠0 und P > Z
Das System ist stabil.

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