Diagramme de Nyquist : Qu'est-ce que c'est ? (Et comment le tracer)

Qu'est-ce qu'un diagramme de Nyquist

Un diagramme de Nyquist (ou diagramme de Nyquist) est un graphique de réponse en fréquence utilisé en génie de la commande et en traitement du signal. Les diagrammes de Nyquist sont couramment utilisés pour évaluer la stabilité d'un système de commande avec rétroaction. En coordonnées cartésiennes, la partie réelle de la fonction de transfert est tracée sur l'axe des X, et la partie imaginaire est tracée sur l'axe des Y.

La fréquence est balayée comme paramètre, ce qui donne un graphique basé sur la fréquence. Le même diagramme de Nyquist peut être décrit en utilisant des coordonnées polaires, où le gain de la fonction de transfert est la coordonnée radiale, et la phase de la fonction de transfert est la coordonnée angulaire correspondante.

L'analyse de la stabilité d'un système de commande à rétroaction est basée sur l'identification de l'emplacement des racines de l'équation caractéristique dans le plan s.

Le système est stable si les racines se trouvent du côté gauche du plan s. La stabilité relative d'un système peut être déterminée en utilisant des méthodes de réponse en fréquence – telles que le diagramme de Nyquist, le diagramme de Nichols, et le diagramme de Bode.

Le critère de stabilité de Nyquist est utilisé pour identifier la présence de racines d'une équation caractéristique dans une région spécifiée du plan s.

Pour comprendre un diagramme de Nyquist, nous devons d'abord apprendre certaines terminologies. Notez qu'un chemin fermé dans un plan complexe est appelé un contour.

Chemin de Nyquist ou Contour de Nyquist

Le contour de Nyquist est un contour fermé dans le plan s qui encercle entièrement la moitié droite du plan s.

Pour encercler toute la partie RHS du plan s, un grand demi-cercle est tracé avec un diamètre le long de l'axe jω et un centre à l'origine. Le rayon du demi-cercle est traité comme l'encerclement de Nyquist.

Encerclement de Nyquist

On dit qu'un point est encerclé par un contour s'il se trouve à l'intérieur du contour.

Mappage de Nyquist

Le processus par lequel un point dans le plan s est transformé en un point dans le plan F(s) est appelé mappage et F(s) est appelée la fonction de mappage.

Comment tracer un diagramme de Nyquist

Un diagramme de Nyquist peut être tracé en suivant les étapes suivantes :

• Étape 1 – Vérifiez les pôles de G(s) H(s) sur l'axe jω, y compris ceux à l'origine.

• Étape 2 – Sélectionnez le contour de Nyquist approprié – a) Incluez toute la moitié droite du plan s en traçant un demi-cercle de rayon R avec R tendant vers l'infini.

• Étape 3 – Identifiez les différents segments sur le contour par rapport au chemin de Nyquist.

• Étape 4 – Effectuez le mappage segment par segment en substituant l'équation du segment respectif dans la fonction de mappage. En gros, nous devons esquisser les graphiques polaires des segments respectifs.

• Étape 5 – Les mappages des segments sont généralement des images miroirs des mappages du chemin respectif de l'axe imaginaire positif.

• Étape 6 – Le chemin semi-circulaire qui couvre la moitié droite du plan s se mappe généralement en un point dans le plan G(s) H(s).

• Étape 7- Interconnectez tous les mappages des segments différents pour obtenir le diagramme de Nyquist requis.

• Étape 8 – Notez le nombre d'encerclements horloges autour de (-1, 0) et décidez de la stabilité par N = Z – P.

est la fonction de transfert en boucle ouverte (O.L.T.F)

est la fonction de transfert en boucle fermée (C.L.T.F)
N(s) = 0 est le zéro en boucle ouverte et D(s) est le pôle en boucle ouverte
Du point de vue de la stabilité, aucun pôle en boucle fermée ne doit se trouver du côté droit du plan s. L'équation caractéristique 1 + G(s) H(s) = 0 indique les pôles en boucle fermée .

Maintenant, comme 1 + G(s) H(s) = 0, q(s) doit également être nul.

Par conséquent, du point de vue de la stabilité, les zéros de q(s) ne doivent pas se trouver dans la partie droite du plan s.
Pour définir la stabilité, toute la partie droite du plan (RHP) est considérée. Nous supposons un demi-cercle qui encercle tous les points dans la partie droite du plan en considérant que le rayon du demi-cercle R tend vers l'infini. [R → ∞].

La première étape pour comprendre l'application du critère de Nyquist en relation avec la détermination de la stabilité des systèmes de commande est le mappage du plan s vers le plan G(s) H(s).

s est considéré comme une variable complexe indépendante et la valeur correspondante de G(s) H(s) est la variable dépendante tracée dans un autre plan complexe appelé le plan G(s) H(s).

Ainsi, pour chaque point dans le plan s, il existe un point correspondant dans le plan G(s) H(s). Lors du processus de mappage, la variable indépendante s est modifiée le long d'un chemin spécifié dans le plan s, et les points correspondants dans le plan G(s)H(s) sont reliés. Cela complète le processus de mappage du plan s vers le plan G(s)H(s).

Le critère de stabilité de Nyquist stipule que N = Z – P. Où, N est le nombre total d'encerclements autour de l'origine, P est le nombre total de pôles et Z est le nombre total de zéros.
Cas 1 : N = 0 (pas d'encerclement), donc Z = P = 0 et Z = P
Si N = 0, P doit être nul, donc le système est stable.
Cas 2 : N > 0 (encerclement dans le sens horaire), donc P = 0, Z ≠0 et Z > P
Dans les deux cas, le système est instable.
Cas 3 : N < 0 (encerclement dans le sens antihoraire), donc Z = 0, P ≠0 et P > Z
Le système est stable.

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