Wortellocustechneke in Regelingsysteem | Wortellocusgrafiek

De wortellocustechiek in regelsystemen werd voor het eerst geïntroduceerd in 1948 door Evans. Elk fysiek systeem wordt weergegeven door een overdrachtsfunctie in de vorm van

We kunnen polen en nullen vinden uit G(s). De locatie van polen en nullen is cruciaal voor stabiliteit, relatieve stabiliteit, tijdelijke respons en foutanalyse. Wanneer het systeem in gebruik wordt genomen, komen parasitaire inducties en capaciteiten in het systeem, waardoor de locatie van polen en nullen verandert. In de wortellocustechiek in regelsystemen zullen we de positie van de wortels, hun baan van beweging en gerelateerde informatie evalueren. Deze informatie zal worden gebruikt om commentaar te leveren op de systeemprestaties.
Nu, voordat ik uitleg wat een wortellocustechiek is, is het zeer belangrijk om enkele van de voordelen van deze techniek ten opzichte van andere stabiliteitscriteria te bespreken. Enkele voordelen van de wortellocustechiek staan hieronder vermeld.

Voordelen van de Wortellocustechiek

1. De wortellocustechiek in regelsystemen is gemakkelijker te implementeren dan andere methoden.

2. Met behulp van de wortellocus kunnen we de prestaties van het hele systeem eenvoudig voorspellen.

3. De wortellocus biedt een betere manier om parameters aan te geven.

Er zijn verschillende termen die verband houden met de wortellocustechiek die we in dit artikel vaak zullen gebruiken.

1. Kenvergelijking gerelateerd aan de wortellocustechiek : 1 + G(s)H(s) = 0 staat bekend als kenvergelijking. Door nu de kenvergelijking te differentiëren en dk/ds gelijk te stellen aan nul, kunnen we afsplitsingspunten krijgen.

2. Afsplitsingspunten : Stel dat twee wortelloci die beginnen bij een pool en zich in tegengestelde richtingen bewegen, botsen, waarna ze na de botsing in verschillende richtingen symmetrisch blijven bewegen. Of de afsplitsingspunten waarop meervoudige wortels van de kenvergelijking 1 + G(s)H(s) = 0 voorkomen. De waarde van K is maximaal op de punten waar de takken van de wortelloci afsplitsen. Afsplitsingspunten kunnen reëel, imaginair of complex zijn.

3. Insluitingspunt : De voorwaarde voor insluiting op de plot is als volgt : De wortellocus moet aanwezig zijn tussen twee opeenvolgende nullen op de reële as.

4. Zwaartepunt : Het wordt ook wel zwaartepunt genoemd en is gedefinieerd als het punt op de plot waarvan alle asymptoten vertrekken. Wiskundig wordt het berekend door de som van polen en nullen in de overdrachtsfunctie, gedeeld door het verschil tussen het totale aantal polen en het totale aantal nullen. Het zwaartepunt is altijd reëel en wordt aangeduid met σA.
   
   Waarbij N het aantal polen en M het aantal nullen is.

5. Asymptoten van de wortelloci : Asymptoten ontstaan uit het zwaartepunt of zwaartepunt en gaan naar oneindig onder een bepaalde hoek. Asymptoten geven richting aan de wortellocus wanneer ze afsplitsingspunten verlaten.

6. Hoek van de asymptoten : Asymptoten maken een bepaalde hoek met de reële as en deze hoek kan worden berekend met de volgende formule,
   
   Waarbij p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N is het totale aantal polen
   M is het totale aantal nullen.

7. Aankomsthoek of vertrekhoeck : We berekenen de vertrekhoeck wanneer er complexe polen in het systeem bestaan. De vertrekhoeck kan worden berekend als 180-{(som van hoeken naar een complex pol vanaf de andere polen)-(som van hoeken naar een complex pol vanaf de nullen)}.

8. Snijpunt van de wortellocus met de imaginaire as : Om het snijpunt van de wortellocus met de imaginaire as te bepalen, moeten we de Routh-Hurwitz-criteria gebruiken. Eerst bepalen we de hulpvergelijking, dan geeft de overeenkomstige waarde van K de waarde van het snijpunt.

9. Versterkingsmarge : We definiëren de versterkingsmarge als de factor waarmee de ontwerpwaaarde van de versterkingsfactor kan worden vermenigvuldigd voordat het systeem instabiel wordt. Wiskundig wordt het gegeven door de formule
   

10. Fasevoorsprong : De fasevoorsprong kan worden berekend met de volgende formule:
    

11. Symmetrie van de wortellocus : De wortellocus is symmetrisch ten opzichte van de x-as of de reële as.

Hoe bepaal je de waarde van K op elk punt op de wortelloci? Er zijn twee manieren om de waarde van K te bepalen, elke methode is hieronder beschreven.

1. Amplitudencriterium : Op elk punt op de wortellocus kunnen we het amplitudencriterium toepassen als,
   
   Met deze formule kunnen we de waarde van K op elk gewenst punt berekenen.

2. Gebruik van de wortellocusplot : De waarde van K op elk s op de wortellocus wordt gegeven door
   

Wortellocusplot

Dit staat ook bekend als de wortellocustechiek in regelsystemen en wordt gebruikt om de stabiliteit van een gegeven systeem te bepalen. Om de stabiliteit van het systeem te bepalen met behulp van de wortellocustechiek, zoeken we het bereik van K-waarden waarvoor de volledige prestaties van het systeem bevredigend zijn en de werking stabiel is.
Er zijn enkele resultaten die men moet onthouden om de wortellocus te plotten. Deze resultaten staan hieronder vermeld:

1. Gebied waar de wortellocus bestaat : Na het plotten van alle polen en nullen in het vlak, kunnen we het bestaansgebied van de wortellocus eenvoudig bepalen door gebruik te maken van één eenvoudige regel die hieronder staat vermeld,
   Alleen dat segment zal worden beschouwd voor het maken van de wortellocus als het totaal aantal polen en nullen rechts van het segment oneven is.

2. Hoe bepaal je het aantal aparte wortelloci ? : Het aantal aparte wortelloci is gelijk aan het totale aantal wortels als het aantal wortels groter is dan het aantal polen, anders is het aantal aparte wortelloci gelijk aan het totale aantal polen als het aantal wortels groter is dan het aantal nullen.

Proceduur voor het plotten van de wortellocus

Met al deze punten in gedachten kunnen we de wortellocusplot tekenen voor elk soort systeem. Laten we nu de procedure bespreken voor het maken van een wortellocus.

1. Vind alle wortels en polen uit de openlusoverdrachtsfunctie en plot ze in het complexe vlak.

2. Alle wortelloci beginnen bij de polen waar k = 0 en eindigen bij de nullen waar K naar oneindig gaat. Het aantal takken dat eindigt in oneindig is gelijk aan het verschil tussen het aantal polen en het aantal nullen van G(s)H(s).

3. Bepaal het bestaansgebied van de wortelloci met de bovenstaande methode nadat de waarden van M en N zijn gevonden.

4. Bereken afsplitsingspunten en insluitingspunten indien aanwezig.

5. Plot de asymptoten en het zwaartepunt in het complexe vlak voor de wortelloci door de helling van de asymptoten te berekenen.

6. Bereken nu de vertrekhoeck en het snijpunt van de wortelloci met de imaginaire as.

7. Bepaal nu de waarde van K door een van de methoden die ik hierboven heb beschreven te gebruiken.

   Door de bovenstaande procedure te volgen, kunt u de wortellocusplot gemakkelijk tekenen voor elke openlusoverdrachtsfunctie.

8. Bereken de versterkingsmarge.

9. Bereken de fasevoorsprong.

10. U kunt gemakkelijk commentaar geven op de stabiliteit van het systeem met behulp van de Routh-array.

Verklaring: Respecteer het oorspronkelijke, goede artikelen zijn de moede gedeeld, als er schending is neem contact op om te verwijderen.