Gyökörhelyi technika a vezérlőrendszerben | Gyökörhelyi diagram

Az irányítási rendszerben használt gyök helyzet technika először 1948-ban Evans által lett bevezetve. Bármely fizikai rendszer egy átviteli függvény formájában van reprezentálva

A G(s)-ből meghatározhatók a pólusok és a nullhelyek. A pólusok és nullhelyek pozíciója alapvető jelentőséggel bír a stabilitás, a relatív stabilitás, a tranzienst válasz és a hiba elemzés szempontjából. Amikor a rendszert használják, idegen induktivitás és kapacitás kerül a rendszerbe, így megváltoztatja a pólusok és nullhelyek pozícióját. Az irányítási rendszerben használt gyök helyzet technikában kiértékeljük a gyökök pozícióját, mozgásuk helyzetét és a hozzájuk tartozó információkat. Ezek az információk felhasználhatók a rendszer teljesítményének értékelésére.
Mielőtt bemutatom, mi a gyök helyzet technika, nagyon fontos beszélni néhány előnyéről más stabilitási kritériumokkal szemben. Néhány előnye a gyök helyzet technikának:

A gyök helyzet technika előnyei

1. Az irányítási rendszerben használt gyök helyzet technika könnyebben implementálható, mint más módszerek.

2. A gyök helyzet segítségével könnyen előre jelezhetjük a teljes rendszer teljesítményét.

3. A gyök helyzet jobb módja a paraméterek megjelenítésének.

Most pedig számos, a gyök helyzet technikához kapcsolódó fogalom lesz, amit ebben a cikkben gyakran használni fogunk.

1. A gyök helyzet technikához kapcsolódó karakterisztikus egyenlet: 1 + G(s)H(s) = 0 a karakterisztikus egyenlet. Ha most ezt az egyenletet deriváljuk, és a dk/ds-et nulla egyenlővé tesszük, akkor meghatározhatjuk a töréspontokat.

2. Töréspontok: Képzeljünk el két gyök helyzetet, amelyek a pólusból indulnak, és ellenkező irányban haladnak. Ekkor találkoznak úgy, hogy utána szimmetrikusan eltávolodnak egymástól. Vagy a töréspontok, ahol a karakterisztikus egyenlet 1 + G(s)H(s) = 0 többszörös gyökei vannak. A K értéke maximális azon pontokon, ahol a gyök helyzet ágai törnek. A töréspontok valós, képzetes vagy komplexek lehetnek.

3. Belemegy a töréspont: A töréspont feltételei a következők:
   A gyök helyzetnek jelen kell lennie két szomszédos nullhely között a valós tengelyen.

4. Súlypont: Ezt is súlypontnak nevezik, és azzal definiálják, hogy a rajzon az a pont, ahonnan minden aszimptota indul. Matematikailag a pólusok és nullhelyek összegének különbsége a transzfert függvényben, osztva a pólusok és nullhelyek teljes számának különbségével. A súlypont mindig valós, és σA-val jelöljük.
   
   Ahol N a pólusok száma, M pedig a nullhelyek száma.

5. Gyök helyzet aszimptotái: Az aszimptoták a súlypontból, vagy a súlypontból indulnak, és adott szögben haladnak végtelenhez. Az aszimptoták irányt adnak a gyök helyzetnek, amikor a töréspontokból indulnak.

6. Aszimptoták szöge: Az aszimptoták adott szöget zár be a valós tengellyel, és ezt a szöget a következő képletből számíthatjuk:
   
   Ahol p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N a pólusok teljes száma
   M a nullhelyek teljes száma.

7. Érkezési vagy távozási szög: Számítjuk az érkezési szöget, ha a rendszerben komplex pólusok vannak. Az érkezési szöget a következőképpen számíthatjuk: 180-{(a többi pólustól egy komplex pólushoz vezető szögek összege)-(a nullhelyektől egy komplex pólushoz vezető szögek összege)}.

8. A gyök helyzet metszése a képzetes tengellyel: A metszéspont meghatározásához a Routh-Hurwitz kritériumot használjuk. Először megkeressük a segéd egyenletet, majd a hozzá tartozó K érték adja a metszéspont értékét.

9. Nyereség margó: A nyereség margóval meghatározzuk, hogy mennyivel tudjuk megszorozni a tervezett nyereség tényező értékét, mielőtt a rendszer instabilissá válik. Matematikailag a következő képlettel adható meg:
   

10. Fázismargó: A fázismargót a következő képletből számíthatjuk:
    

11. A gyök helyzet szimmetriája: A gyök helyzet szimmetrikus az x tengely, vagy a valós tengely szerint.

Hogyan határozható meg a K értéke bármely ponton a gyök helyzeteken? Most két módszer létezik a K érték meghatározására, mindegyik leírása alább található.

1. Nagyságkritérium: Bármely ponton a gyök helyzeteken alkalmazhatjuk a nagyságkritériumot, mint:
   
   Ezzel a képlettel meghatározhatjuk a K értékét bármilyen kívánt ponton.

2. A gyök helyzet grafikon használatával: A K értéke bármilyen s-re a gyök helyzeteken a következőképpen adható meg:
   

Gyök helyzet grafikon

Ezt ismertük gyök helyzet technikának az irányítási rendszerben, és arra használjuk, hogy meghatározzuk a rendszer stabilitását. Ahhoz, hogy a gyök helyzet technikával meghatározzuk a rendszer stabilitását, meghatározzuk a K értékek tartományát, amelyek esetén a rendszer teljesítménye elégedő, és a működés stabil.
Most vannak olyan eredmények, amelyeket meg kell említeni a gyök helyzet grafikon elkészítéséhez. Ezek az eredmények a következők:

1. A gyök helyzet létező régiója: Miután megrajzoltuk az összes pólust és nullhelyet a síkon, könnyen meghatározhatjuk a gyök helyzet létező régióját a következő egyszerű szabály segítségével, ami a következő:
   Csak az a szakasz lesz figyelembe véve a gyök helyzet készítéséhez, ha a szakasznak a jobb oldalán lévő pólusok és nullhelyek száma páratlan.

2. Hogyan számítható a külön gyök helyzetek száma? : A külön gyök helyzetek száma egyenlő a gyökök teljes számával, ha a gyökök száma nagyobb, mint a pólusok száma, ellenkező esetben a külön gyök helyzetek száma egyenlő a pólusok teljes számával, ha a gyökök száma nagyobb, mint a nullhelyek száma.

Eljárás a gyök helyzet grafikon készítéséhez

Minden ezen pontot figyelembe véve képesek vagyunk rajzolni a gyök helyzet grafikont bármilyen rendszerhez. Most beszéljünk az eljárásról a gyök helyzet grafikon készítéséhez.

1. Határozzuk meg az összes gyököt és pólust a nyitott hurok transzfert függvényből, majd rajzoljuk őket a komplex síkon.

2. Minden gyök helyzet a pólusból indul, ahol k = 0, és a nullhelyeknél fejeződik be, ahol K végtelenhez tart. A végtelenhez tartó ágak száma egyenlő a G(s)H(s) pólusainak és nullhelyeinek számának különbségével.

3. Határozzuk meg a gyök helyzet létező régióját a fenti módszerrel, miután meghatároztuk M és N értékét.

4. Számítsuk ki a töréspontokat és a belemegyő töréspontokat, ha vannak ilyenek.

5. Rajzoljuk fel az aszimptotákat és a súlypontot a komplex síkon a gyök helyzetekhez, ahol kiszámítjuk az aszimptoták meredekségét.

6. Most számítsuk ki az érkezési szöget és a gyök helyzet metszését a képzetes tengellyel.

7. Most határozzuk meg a K