Juurreitas-teknikka ohjausjärjestelmässä | Juurreitaskartta

Ohjausjärjestelmän juurikäyräteknikka esiteltiin ensimmäisen kerran vuonna 1948 Evansin toimesta. Mikä tahansa fysikaalinen järjestelmä on edustettu siirtymäfunktiona muodossa

Voimme löytää polttopisteet ja nollakohdat G(s):stä. Polttopisteiden ja nollakohtien sijainti on ratkaiseva näkökulma stabiiliuden, suhteellisen stabiiliuden, tilapäisvastauksen ja virheanalyysin kannalta. Kun järjestelmä otetaan käyttöön, vieraslukutaidot ja -kyvyttömyydet pääsevät järjestelmään, mikä muuttaa polttopisteiden ja nollakohtien sijaintia. Ohjausjärjestelmän juurikäyräteknikassa arvioidaan juurten sijaintia, niiden liikkeen kulkuja ja liittyviä tietoja. Nämä tiedot käytetään kommentoimaan järjestelmän suorituskykyä.
Nyt ennen kuin esitän, mikä on juurikäyräteknikka, on erittäin tärkeää keskustella tämän tekniikan joistakin etuuksista muihin stabiilisuuskriteereihin verrattuna. Joitakin juurikäyräteknikan etuja ovat seuraavat.

Juurikäyräteknikan etumatkat

1. Ohjausjärjestelmän juurikäyräteknikka on helpompi toteuttaa muihin menetelmiin verrattuna.

2. Juuri­käyrän avulla voimme helposti ennustaa koko järjestelmän suorituksen.

3. Juurikäyrä tarjoaa paremman tavan ilmaista parametreja.

Nyt on useita termejä, jotka liittyvät juurikäyräteknikkaan, ja joita käytämme useasti tässä artikkelissa.

1. Juurikäyräteknikkaan liittyvä karakteristinen yhtälö: 1 + G(s)H(s) = 0 tunnetaan karakteristisena yhtälönä. Nyt erottamalla karakteristinen yhtälö ja asettamalla dk/ds nollaksi, voimme saada poisryppykohtia.

2. Poisryppykohdat: Kuvittele kaksi juurikäyrää, jotka alkavat polustasta ja liikkuvat päinvastaisiin suuntiin törmäävät toisiinsa siten, että törmäyksen jälkeen ne alkavat liikkua eri suuntiin symmetrisesti. Tai poisryppykohdat, joissa karakteristisen yhtälön 1 + G(s)H(s) = 0 moninkertaiset juuret esiintyvät. K:n arvo on maksimaalinen kohdissa, joissa juurikäyrän oksat poispäin. Poisryppykohdat voivat olla reaalisia, imaginaarisia tai kompleksisia.

3. Sisänpääsy: Ehdot sisänpääsyyn piirretään alla:
   Juurikäyrän on oltava kahden vierekkäisen nollakohdan välillä reaaliakselilla.

4. Massakeskipiste: Se on myös tunnettu centroidtina ja määritellään pisteeksi, josta kaikki asymptootit alkavat. Matemaattisesti se lasketaan siirtymäfunktion polttopisteiden ja nollakohtien summan erotuksella, kun se jaetaan polttopisteiden ja nollakohtien lukumäärien erotuksella. Massakeskipiste on aina reaalinen ja se merkataan σA.
   
   Missä, N on polttopisteiden lukumäärä ja M on nollakohtien lukumäärä.

5. Juurikäyrän asymptootit: Asymptootit alkavat massakeskipisteestä tai centroidista ja menevät äärettömään tietyssä kulmassa. Asymptootit antavat suunnan juurikäyrälle, kun ne lähtevät poisryppykohdista.

6. Asymptoottien kulma: Asymptootit tekevät jonkin kulman reaaliakselin kanssa, ja tämä kulma voidaan laskea seuraavasta kaavasta,
   
   Missä, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N on polttopisteiden kokonaismäärä
   M on nollakohtien kokonaismäärä.

7. Saapumiskulma tai lähtökulma: Laskemme lähtökulman, kun järjestelmässä on kompleksipolttopisteitä. Lähtökulmaa voidaan laskea 180-{(summa kulmia kompleksipolttopisteeseen muista polttopisteistä)-(summa kulmia kompleksipolttopisteeseen nollakohdista)}.

8. Juurikäyrän leikkauspiste imaginaariakselin kanssa: Jotta löytäisimme leikkauspisteen, jossa juurikäyrä leikkaa imaginaariakselin, meidän on käytettävä Routh-Hurwitzin kriteeriä. Ensiksi löydämme apuyhtälön, ja vastaava K:n arvo antaa leikkauspisteen arvon.

9. Tehokantama: Määrittelemme tehokantaman, jolla suunnitteluarvoa voidaan kertoa ennen kuin järjestelmä tulee epästabiileksi. Matemaattisesti se annetaan kaavalla
   

10. Vaiheen marginaali: Vaiheen marginaalia voidaan laskea seuraavasta kaavasta:
    

11. Juurikäyrän symmetria: Juurikäyrä on symmetrinen x-akselin eli reaaliakselin suhteen.

Miten määrittää K:n arvo missä tahansa pisteessä juurikäyrällä? Nyt on kaksi tapaa määrittää K:n arvo, ja kukin tapa on kuvattu alla.

1. Magnitude-kriteeri: Missä tahansa pisteessä juurikäyrällä voimme soveltaa magnitude-kriteerin seuraavasti,
   
   Tämän kaavan avulla voimme laskea K:n arvon missä tahansa halutussa pisteessä.

2. Juurikäyrän käyttäminen: K:n arvo missä tahansa s:ssä juurikäyrällä on annettu seuraavasti
   

Juurikäyräkuva

Tätä kutsutaan myös juurikäyräteknikaksi ohjausjärjestelmässä, ja sitä käytetään määrittämään annetun järjestelmän stabiiliutta. Nyt määrittääksemme järjestelmän stabiiliuden juurikäyräteknikalla, löydämme K:n arvoympärys, jossa järjestelmän suoritus on tyydyttävä ja operaatio on vakaa.
Nyt on joitakin tuloksia, jotka pitäisi muistaa, jotta voimme piirtää juurikäyrän. Nämä tulokset on kirjoitettu alla:

1. Alue, jossa juurikäyrä on olemassa: Kun kaikki polttopisteet ja nollakohdat on piirretty tasolle, voimme helposti löytää juurikäyrän olemassaolon alueen käyttämällä yhtä yksinkertaista sääntöä, joka on kirjoitettu alla,
   Vain se osa huomioidaan juurikäyrän luomiseen, jos polttopisteiden ja nollakohtien määrä segmentin oikealla puolella on pariton.

2. Kuinka lasketaan erillisien juurikäyrien määrä? Erillisien juurikäyrien määrä on sama kuin juurten kokonaismäärä, jos juurien määrä on suurempi kuin polttopisteiden määrä, muuten erillisien juurikäyrien määrä on sama kuin polttopisteiden kokonaismäärä, jos juurien määrä on suurempi kuin nollakohtien määrä.

Menetelmä juurikäyrän piirtämiseksi

Muistamalla nämä pisteet voimme helposti piirtää juurikäyräkuva mille tahansa avoimen silmukan siirtymäfunktiolle. Nyt katsotaan menetelmää juurikäyrän piirtämiseksi.

1. Löydä kaikki juuret ja polttopisteet avoimen silmukan siirtymäfunktiosta ja piirrä ne kompleksitasoon.

2. Kaikki juurikäyrät alkavat polttopisteistä, joissa k = 0, ja päätyvät nollakohdissa, joissa K lähestyy ääretöntä. Oksien määrä, jotka päätyvät äärettömyyteen, on polttopisteiden ja nollakohtien lukumäärien erotus G(s)H(s):sta.

3. Löydä juurikäyrän olemassaolon alue edellä kuvatusta menetelmästä M:n ja N:n arvojen löytämisen jälkeen.

4. Laske poisryppykohdat ja sisänpääsykohdat, jos sellaisia on.

5. Piirrä asymptootit ja centroidtipiste kompleksitasoon juurikäyrälle laskemalla asymptoottien kulma.

6. Nyt lasketaan lähtökulma ja juurikäyrän leikkauspiste imaginaariakselin kanssa.

7. Nyt määritä K:n arvo käyttämällä yhtä yllä kuvatuista menetelmistä.

   Seuraamalla edellistä menetelmää voit helposti piirtää juurikäyräkuva mille tahansa avoimen silmukan siirtymäfunktiolle.

8. Laske tehokantama.

9. Laske vaiheen marginaali.

10. Voit helposti kommentoida järjestelmän stabiiliutta Routhin taulukon avulla.