טכניקת מסלול השורשים במערכת הבקרה | תרשים מסלול השורשים
הטכניקה של מיקום השורשים במערכות שליטה הוצגה לראשונה בשנת 1948 על ידי אוונס. כל מערכת פיזית מיוצגת על ידי פונקציית מעבר בצורה של
ניתן למצוא קטבים ונקודות אפס מהפונקציה G(s). המיקום של הקטבים והנקודות האפסיות קריטי מבחינת יציבות, יציבות יחסית, תגובה רגעית ואנליזת שגיאות. כאשר המערכת נכנסת לשימוש, חומרים מגנטיים ומטענים נוספים נכנסים למערכת, ובכך משנים את מיקומי הקטבים והנקודות האפסיות. בטכניקה של מיקום השורשים במערכות שליטה נעריך את מיקומי השורשים, מסלול תנועתם ומידע קשור. מידע זה ישמש כדי להביע דעה לגבי ביצועי המערכת.
לפני שאציג מה היא טכניקת מיקום השורשים, חשוב מאוד לדון כאן בחלק מהיתרונות של טכניקה זו לעומת קריטריונים אחרים של יציבות. חלק מהיתרונות של טכניקת מיקום השורשים מופיעים למטה.
יתרונות טכניקת מיקום השורשים
טכניקת מיקום השורשים במערכות שליטה קלה ליישום בהשוואה לשיטות אחרות.
בעזרת מיקום השורשים ניתן בקלות לחזות את הביצועים של כל המערכת.
מיקום השורשים מציג דרך טובה יותר להראות את הפרמטרים.
ישנם מספר מונחים הקשורים לטכניקת מיקום השורשים שנשתמש בהם לעיתים קרובות בערך זה.
משוואה מאפיינת הקשורה לטכניקת מיקום השורשים : 1 + G(s)H(s) = 0 ידועה כמשוואה מאפיינת. עכשיו על ידי גזירת המשוואה המאפיינת ועל ידי השוואת dk/ds לאפס, ניתן לקבל נקודות פרידה.
נקודות פרידה : נניח שני מסלולי מיקום שורשים שמתחילים מקטבים ועפים בכיוונים מנוגדים מתנגשים אחד עם השני כך שלאחר ההתנגשות הם מתחילים לנוע בכיוונים שונים באופן סימטרי. או נקודות הפרדה שבהן מופיעים שורשים מרובים של המשוואה המאפיינת 1 + G(s)H(s) = 0. ערך K הוא מקסימלי בנקודות שבהן ענפי מיקום השורשים מתפרדים. נקודות הפרדה יכולות להיות ממשיות, מדומות או מורכבות.
נקודות התכנסות : תנאי להתכנסות על הגרף כתוב למטה :
מסלול מיקום השורשים חייב להיות בין שתי נקודות אפס סמוכות על הציר הממשי
.
מרכז הכובד : ידוע גם כצנטרואיד ומוגדר כנקודה על הגרף ממנה מתחילים כל האסימפטוטות. מתמטית, הוא מחושב על ידי ההפרש בין סכום הקטבים והנקודות האפסיות בפונקציית המעבר כאשר מחלקים אותו בהפרש בין מספר הקטבים הכולל ומספר הנקודות האפסיות הכולל. מרכז הכובד תמיד ממשי והוא מסומן ב-σA.
כאשר N הוא מספר הקטבים ו-M הוא מספר הנקודות האפסיות.אסימפטוטות של מסלולי מיקום השורשים : אסימפטוטה מתחילה ממרכז הכובד או הצנטרואיד ועפה לאינסוף בזווית מסוימת. אסימפטוטות מספקות כיוון למסלול מיקום השורשים כשהם עפים מנקודות הפרדה.
זויות האסימפטוטות : אסימפטוטות יוצרות זויות עם הציר הממשי וזוויות אלו ניתנות לחישוב לפי הנוסחה הבאה,
כאשר, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N הוא מספר הקטבים הכולל
M הוא מספר הנקודות האפסיות הכולל.זויות הגעה או עזיבה : מחשבים זויות עזיבה כאשר קיימים קטבים מרוכבים במערכת. זויות עזיבה ניתן לחשב כ-180-{(סכום הזוויות לקטב מרוכב מהקטבים האחרים)-(סכום הזוויות לקטב מרוכב מהנקודות האפסיות)}.
נקודת החיתוך של מסלול מיקום השורשים עם הציר המדומה : כדי למצוא את נקודת החיתוך של מסלול מיקום השורשים עם הציר המדומה, יש להשתמש בקריטריון Routh Hurwitz. קודם כל, מוצאים את המשוואה העוזרת ואז הערך המתאים של K יתן את הערך של נקודת החיתוך.
هامש הרווח : מגדירים את מרווח ההstärקה על ידי הכפלת ערך ההגדרה של גורם ההגבר לפני שהמערכת נעשית בלתי יציבה. מתמטית הוא נתון בנוסחה
هامש הפאזה : המרגין הפאזי ניתן לחישוב לפי הנוסחה:
סימטריה של מסלול מיקום השורשים : מסלול מיקום השורשים סימטרי סביב ציר ה-x או הציר הממשי.
איך לקבוע את ערך K בכל נקודה במסלול מיקום השורשים? יש שתי דרכים לקביעת ערך K, כל דרך מתוארת למטה.
קריטריון הגודל : בכל נקודה במסלול מיקום השורשים ניתן ליישם קריטריון הגודל כ-
באמצעות הנוסחה הזו ניתן לחשב את ערך K בכל נקודה רצויה.באמצעות גרף מיקום השורשים : ערך K בכל s במסלול מיקום השורשים נתון על ידי
גרף מיקום השורשים
זהו גם ידוע כטכניקת מיקום השורשים במערכות שליטה ונעשה בו שימוש לקביעת יציבות של מערכת נתונה. כעת, כדי לקבוע את יציבות המערכת באמצעות טכניקת מיקום השורשים, אנו מוצאים את טווח הערכים של K עבורם הביצועים של המערכת יהיו מספקים והפעולה תהיה יציבה.
ישנם כמה תוצאות שצריכים לזכור כדי לשרטט את מיקום השורשים. תוצאות אלה מופיעות למטה:
אזור שבו קיים מסלול מיקום השורשים : אחרי ששרטטנו את כל הקטבים והנקודות האפס במישור, ניתן בקלות למצוא את האזור שבו קיים מסלול מיקום השורשים באמצעות כלל פשוט המופיע למטה,
רק הקטע הזה ייחשב כשופך מסלול מיקום אם מספר הקטבים והנקודות האפסיות מימין לקטע הוא אי-זוגי.איך לחשב את מספר מסלולי מיקום השורשים הנפרדים ? : מספר מסלולי מיקום השורשים הנפרדים שווה למספר השורשים אם מספר השורשים גדול ממספר הקטבים אחרת מספר מסלולי מיקום השורשים הנפרדים שווה למספר הקטבים אם מספר השורשים גדול ממספר הנקודות האפסיות.
תהליך לשרטט מיקום השורשים
בהתחשב בכל הנקודות האלו, אנחנו יכולים לשרטט את גרף מיקום השורשים לכל סוג של מערכת. עכשיו בואו נדון בתהליך של יצירת מיקום השורשים.
מצאו את כל השורשים והקטבים מהפונקציית המעבר פתוחה ושרטטו אותם במישור המרוכב.
כל מסלולי מיקום השורשים מתחילים מהקטבים כאשר k = 0 ומסתיימים בנקודות האפס כאשר K שואף לאינסוף. מספר הענפים הסופיים באינסוף שווה להפרש בין מספר הקטבים ומספר הנקודות האפסיות של G(s)H(s).
מצאו את האזור שבו קיים מסלול מיקום השורשים מהשיטה שתוארה למעלה לאחר מציאת הערכים של M ו-N.
חישבו את נקודות הפרידה וההתכנסות אם ישנן כאלה.
שרטטו את האסימפטוטות ואת נקודת הצנטרואיד במישור המרוכב עבור מסלולי מיקום השורשים על ידי חישוב שיפוע האסימפטוטות.
עכשיו חישבו את זוויות ההפרדה והחיתוך של מסלולי מיקום השורשים עם הציר המדומה.
עכשיו קבעו את ערך K בשיטה אחת מהשיטות שתיארתי למעלה.
על ידי הביצוע של התהליך לעיל, ניתן בקלות לשרטט את גרף מיקום השורשים לכל פונקציית מעבר פתוחה.
חישבו את מרווח ההגבר.
חישבו את מרווח הפאזה.
ניתן בקלות להביע דעה על יציבות המערכת באמצעות מערך Routh.
הצהרה: כבוד למקור, מאמרים טובים ראויים לשיתוף, אם קיים פגיעה בקניין רוחני נא צרו קשר למחיקה.
