Wurzelortsmethode in Regelungssystemen | Wurzelortskurve

Die Wurzelortkurventechnik in Regelungssystemen wurde erstmals im Jahr 1948 von Evans eingeführt. Jedes physikalische System wird durch eine Übertragungsfunktion in der Form dargestellt

Wir können Pole und Nullstellen aus G(s) bestimmen. Die Lage von Polen und Nullstellen ist entscheidend für die Stabilität, relative Stabilität, den Transientenverlauf und die Fehleranalyse. Wenn das System in Betrieb genommen wird, kommen Streuinduktivitäten und -kapazitäten ins System, was die Lage der Pole und Nullstellen verändert. Bei der Wurzelortkurventechnik in Regelungssystemen werden wir die Position der Wurzeln, ihren Bewegungsverlauf und die zugehörigen Informationen bewerten. Diese Informationen werden verwendet, um über die Systemleistung zu urteilen.
Nun, bevor ich erkläre, was eine Wurzelortkurvetechnik ist, ist es sehr wichtig, einige der Vorteile dieser Technik gegenüber anderen Stabilitätskriterien zu diskutieren. Einige der Vorteile der Wurzelortkurvetechnik sind unten aufgeführt.

Vorteile der Wurzelortkurvetechnik

1. Die Wurzelortkurvetechnik in Regelungssystemen ist leichter umzusetzen als andere Methoden.

2. Mit Hilfe der Wurzelortkurve können wir die Leistung des gesamten Systems leicht vorhersagen.

3. Die Wurzelortkurve bietet eine bessere Möglichkeit, die Parameter anzuzeigen.

Nun gibt es verschiedene Begriffe, die mit der Wurzelortkurvetechnik zusammenhängen und die wir in diesem Artikel häufig verwenden werden.

1. Charakteristische Gleichung im Zusammenhang mit der Wurzelortkurvetechnik : 1 + G(s)H(s) = 0 wird als charakteristische Gleichung bezeichnet. Durch Differenzieren der charakteristischen Gleichung und Setzen von dk/ds gleich Null können wir Abzweigungspunkte erhalten.

2. Abzweigungspunkte : Angenommen, zwei Wurzelortkurven, die von einem Pol ausgehen und in entgegengesetzte Richtungen laufen, kollidieren miteinander, sodass sie nach der Kollision in verschiedenen Richtungen symmetrisch weiterlaufen. Oder die Abzweigungspunkte, an denen mehrfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung 1 + G(s)H(s) = 0 auftreten. Der Wert von K ist maximal an den Punkten, an denen sich die Äste der Wurzelortkurven abzweigen. Abzweigungspunkte können reell, imaginär oder komplex sein.

3. Eintrittspunkte : Die Bedingung für die Anwesenheit von Eintrittspunkten auf dem Diagramm lautet wie folgt : Die Wurzelortkurve muss zwischen zwei benachbarten Nullstellen auf der reellen Achse vorhanden sein.

4. Schwerpunkt : Er wird auch Zentroid genannt und definiert als der Punkt auf dem Diagramm, von dem alle Asymptoten beginnen. Mathematisch wird er berechnet, indem man die Differenz der Summe der Pole und Nullstellen in der Übertragungsfunktion teilt, wenn sie durch die Differenz der Gesamtzahl der Pole und der Gesamtzahl der Nullstellen geteilt wird. Der Schwerpunkt ist immer reell und wird mit σA bezeichnet.
   
   Dabei ist N die Anzahl der Pole und M die Anzahl der Nullstellen.

5. Asymptoten der Wurzelortkurven : Asymptoten beginnen am Schwerpunkt oder Zentroid und gehen bis ins Unendliche unter einem bestimmten Winkel. Asymptoten geben die Richtung der Wurzelortkurven an, wenn sie von den Abzweigungspunkten abgehen.

6. Winkel der Asymptoten : Asymptoten bilden einen bestimmten Winkel mit der reellen Achse, und dieser Winkel kann mit der folgenden Formel berechnet werden,
   
   Dabei ist p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N ist die Gesamtzahl der Pole
   M ist die Gesamtzahl der Nullstellen.

7. Einfalls- oder Ausfallsrichtungswinkel : Wir berechnen den Einfalls- oder Ausfallsrichtungswinkel, wenn es komplexe Pole im System gibt. Der Einfalls- oder Ausfallsrichtungswinkel kann als 180-{(Summe der Winkel zu einem komplexen Pol von den anderen Polen)-(Summe der Winkel zu einem komplexen Pol von den Nullstellen)} berechnet werden.

8. Schnitt der Wurzelortkurve mit der imaginären Achse : Um den Schnittpunkt der Wurzelortkurve mit der imaginären Achse zu finden, müssen wir das Routh-Hurwitz-Kriterium verwenden. Zuerst finden wir die Hilfsgleichung, dann gibt der entsprechende Wert von K den Wert des Schnittpunkts.

9. Verstärkungsreserve : Die Verstärkungsreserve definieren wir als den Faktor, um den der Entwurfswert des Verstärkungsfaktors multipliziert werden kann, bevor das System instabil wird. Mathematisch wird sie durch die Formel gegeben
   

10. Phasenreserve : Die Phasenreserve kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
    

11. Symmetrie der Wurzelortkurve : Die Wurzelortkurve ist symmetrisch zur x-Achse oder der reellen Achse.

Wie bestimmt man den Wert von K an jedem Punkt der Wurzelortkurve? Es gibt zwei Möglichkeiten, den Wert von K zu bestimmen, jede Methode wird unten beschrieben.

1. Betragskriterium : An jedem Punkt auf der Wurzelortkurve können wir das Betragskriterium anwenden, als
   
   Mit dieser Formel können wir den Wert von K an jedem gewünschten Punkt berechnen.

2. Verwendung der Wurzelortkurve : Der Wert von K an jedem s auf der Wurzelortkurve wird durch
   

Wurzelortkurve

Dies wird auch als Wurzelortkurvetechnik in Regelungssystemen bezeichnet und wird verwendet, um die Stabilität eines gegebenen Systems zu bestimmen. Um die Stabilität des Systems mit der Wurzelortkurvetechnik zu bestimmen, finden wir den Bereich der Werte von K, für die die vollständige Leistung des Systems zufriedenstellend und der Betrieb stabil ist.
Es gibt einige Ergebnisse, die man sich merken sollte, um die Wurzelortkurve zu zeichnen. Diese Ergebnisse sind unten aufgelistet:

1. Bereich, in dem die Wurzelortkurve existiert : Nachdem alle Pole und Nullstellen in der Ebene eingezeichnet wurden, können wir den Existenzbereich der Wurzelortkurve leicht mit einer einfachen Regel bestimmen, die unten beschrieben ist,
   Nur jenes Segment wird für die Erstellung der Wurzelortkurve berücksichtigt, wenn die Gesamtzahl der Pole und Nullstellen rechts vom Segment ungerade ist.

2. Wie berechnet man die Anzahl der separaten Wurzelortkurven ? : Die Anzahl der separaten Wurzelortkurven entspricht der Gesamtzahl der Wurzeln, wenn die Anzahl der Wurzeln größer ist als die Anzahl der Pole, andernfalls entspricht die Anzahl der separaten Wurzelortkurven der Gesamtzahl der Pole, wenn die Anzahl der Wurzeln größer ist als die Anzahl der Nullstellen.

Verfahren zur Erstellung der Wurzelortkurve

Wenn man all diese Punkte im Hinterkopf behält, ist man in der Lage, die Wurzelortkurve für jedes beliebige System zu zeichnen. Nun besprechen wir das Verfahren zur Erstellung einer Wurzelortkurve.

1. Bestimme alle Wurzeln und Pole aus der offenen Schleifenübertragungsfunktion und zeichne sie in der komplexen Ebene ein.

2. Alle Wurzelortkurven beginnen bei den Polen, wo k = 0, und enden bei den Nullstellen, wo K gegen unendlich strebt. Die Anzahl der Äste, die in der Unendlichkeit enden, entspricht der Differenz zwischen der Anzahl der Pole und der Anzahl der Nullstellen von G(s)H(s).

3. Bestimme den Existenzbereich der Wurzelortkurven mit der oben beschriebenen Methode, nachdem die Werte von M und N gefunden wurden.

4. Berechne Abzweigungspunkte und Eintrittspunkte, falls vorhanden.

5. Zeichne die Asymptoten und den Schwerpunkt in der komplexen Ebene für die Wurzelortkurven, indem du die Steigung der Asymptoten berechnest.

6. Berechne nun den Einfalls- oder Ausfallsrichtungswinkel und den Schnittpunkt der Wurzelortkurve mit der imaginären Achse.

7. Bestimme nun den Wert von K, indem du eine der oben beschriebenen Methoden verwendest.

   Indem du das obige Verfahren befolgst, kannst du die Wurzelortkurve für jede offene Schleifenübertragungsfunktion leicht zeichnen.

8. Berechne die Verstärkungsreserve.

9. Berechne die Phasenreserve.

10. Du kannst die Stabilität des Systems leicht mit dem Routh-Array beurteilen.

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