Tehnika korennega lokusa v sistemih nadzora | Graf korennega lokusa

Tehnika korenov polinoma v sistemih nadzora je prvič predstavljena leta 1948 od strani Evansa. Kateri koli fizični sistem je predstavljen z prenosno funkcijo oblike

Iz G(s) lahko najdemo polinome in ničle. Lokacija polinomov in ničel je ključna za stabilnost, relativno stabilnost, prehodni odziv in analizo napak. Ko se sistem uporablja, se stranske induktivnosti in kapacitance uvrščajo v sistem, kar spremeni lokacijo polinomov in ničel. V tehnikah korenov polinoma v sistemih nadzora bomo ocenili položaj korenov, njihovo gibanje in povezane informacije. Te informacije bodo uporabljene za komentar o delovanju sistema.
Zdaj, preden predstavim, kaj je tehniko korenov polinoma, je zelo pomembno razpraviti o nekaterih prednostih te tehnike nad drugimi kriteriji stabilnosti. Nekateri prednosti tehnike korenov polinoma so navedene spodaj.

Prednosti tehnike korenov polinoma

1. Tehnika korenov polinoma v sistemih nadzora je lažja za izvedbo v primerjavi z drugimi metodami.

2. S pomočjo korenov polinoma lahko enostavno napovedujemo delovanje celotnega sistema.

3. Tehnika korenov polinoma ponuja boljši način za označevanje parametrov.

Zdaj obstaja več terminov, povezanih s tehniko korenov polinoma, ki jih bomo pogosto uporabljali v tem članku.

1. Characteristic Equation Related to Root Locus Technique : 1 + G(s)H(s) = 0 je znana kot karakteristična enačba. Če zdaj razlikujemo karakteristično enačbo in postavimo dk/ds enako nič, lahko dobimo točke odpadanja.

2. Točke odpadanja : Predpostavimo, da dva korena polinoma, ki se začnejo na polu in se gibljeta v nasprotni smeri, stuknejo ena proti drugi tako, da po stiku začnejo gibljeti v različne smeri simetrično. Ali točke odpadanja, pri katerih se pojavi več korenov karakteristične enačbe 1 + G(s)H(s) = 0. Vrednost K je največja na točkah, kjer se vejice korenov polinoma odpadajo. Točke odpadanja lahko so realne, imaginarni ali kompleksne.

3. Točka vstopa : Pogoji za vstop na grafikon so navedeni spodaj : Grafikon korenov mora biti prisoten med dvema sosednjima ničlama na realni osi.

4. Centroid : Ta je tudi znana kot centroid in je definirana kot točka na grafikonu, od koder se začnejo vse asimptote. Matematično je izračunana z razliko vsote polinomov in ničel v prenosni funkciji, ko je deljena z razliko skupnega števila polinomov in skupnega števila ničel. Centroid je vedno realen in je označen z σA.
   
   Kjer je N število polinomov in M število ničel.

5. Asimptote korenov polinoma : Asimptota se začne v centroidu in gre do neskončnosti pod določenim kotom. Asimptote zagotavljajo smer korenov polinoma, ko se odpadajo od točk odpadanja.

6. Kot asimptot : Asimptota tvori nekot kot z realno osjo in ta kot se lahko izračuna z naslednjo formulo,
   
   Kjer je p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N je skupno število polinomov
   M je skupno število ničel.

7. Kot odhoda ali pristanka : Izračunamo kot odhoda, ko v sistemu obstajajo kompleksni polinomi. Kot odhoda se lahko izračuna kot 180-{(vsota kotov do kompleksnega polinoma od drugih polinomov)-(vsota kotov do kompleksnega polinoma od ničel)}.

8. Presečišče korenov polinoma z imaginarno osjo : Za izračun točke preseka korenov polinoma z imaginarno osjo moramo uporabiti kriterij Routh-Hurwitz. Najprej izračunamo pomožno enačbo, nato pa ustrezen vrednost K nam bo dala vrednost presečišča.

9. Margina dobička : Definiramo margino dobička, s katero lahko množimo projektne vrednosti faktorja dobička, preden postane sistem nestabilen. Matematično je dana z formulo
   

10. Margina faznega pomika : Margina faznega pomika se lahko izračuna z naslednjo formulo:
    

11. Simetrija korenov polinoma : Grafikon korenov polinoma je simetričen glede na x-os ali realno os.

Kako določiti vrednost K na katerikoli točki na grafikonu korenov polinoma? Zdaj obstajata dva načina za določitev vrednosti K, vsak način je opisan spodaj.

1. Merila velikosti : Na katerikoli točki na grafikonu korenov polinoma lahko uporabimo merila velikosti, kot sledi,
   
   S pomočjo te formule lahko izračunamo vrednost K na katerikoli željeni točki.

2. Uporaba grafikona korenov polinoma : Vrednost K na katerikoli s na grafikonu korenov polinoma je dana z
   

Grafikon korenov polinoma

Ta je tudi znana kot tehnika korenov polinoma v sistemih nadzora in se uporablja za določanje stabilnosti danega sistema. Za določanje stabilnosti sistema z uporabo tehnike korenov polinoma poiščemo obseg vrednosti K, za katere bo celotno delovanje sistema zadovoljivo in operacija stabilna.
Zdaj obstajajo nekatere rezultate, ki jih je treba zapomniti, da bi narisali grafikon korenov polinoma. Ti rezultati so navedeni spodaj:

1. Območje, kjer grafikon korenov polinoma obstaja : Po narisovanju vseh polinomov in ničel na ravnini lahko enostavno ugotovimo območje obstoja grafikona korenov polinoma z uporabo enostavnega pravila, ki je navedeno spodaj,
   Samo ta segment bo upoštevan pri izdelavi grafikona korenov polinoma, če je skupno število polinomov in ničel na desni strani segmenta liho.

2. Kako izračunati število ločenih grafikonov korenov polinoma ? : Število ločenih grafikonov korenov polinoma je enako skupnemu številu korenov, če je število korenov večje od števila polinomov, sicer je število ločenih grafikonov korenov polinoma enako skupnemu številu polinomov, če je število korenov večje od števila ničel.

Postopek risanja grafikona korenov polinoma

Z upoštevanjem vseh teh točk lahko narišemo grafikon korenov polinoma za kakršenkoli sistem. Zdaj razpravljajmo o postopku izdelave grafikona korenov polinoma.

1. Ugotovite vse korene in polinome iz odprtoklopne prenosne funkcije in jih narišite na kompleksni ravnini.

2. Vse vejice korenov polinoma se začnejo na polinomih, kjer je k = 0, in se končajo pri ničlah, kjer se K približuje neskončnosti. Število vejic, ki se končajo v neskončnosti, je enako razliki med številom polinomov in številom ničel G(s)H(s).

3. Ugotovite območje obstoja grafikona korenov polinoma s postopkom, opisanim zgoraj, po ugotovitvi vrednosti M in N.

4. Izračunajte točke odpadanja in točke vstopa, če obstajajo.

5. Narišite asimptote in točko centroida na kompleksni ravnini za grafikon korenov polinoma z izračunom nagiba asimptot.

6. Zdaj izračunajte kot odhoda in presečišče grafikona korenov polinoma z imaginarno osjo.

7. Zdaj določite vrednost K z uporabo kateregakoli od načinov, ki sem jih opisal zgoraj.

   Sledenjem zgornjemu postopku lahko enostavno narišete grafikon korenov polinoma za kakršenkoli odprtoklopno prenosno funkcijo.

8. Izračunajte maržo dobička.

9. Izračunajte fazno maržo.

10. Lahko enostavno komentirate stabilnost sistema z uporabo tabele Routh.

Izjava: Spoštujte original, dobre članke so vredni delitve, če gre za kršitev avtorskih pravic, obvestite zamen.