Technika Miejsca zerowego w systemie sterowania | Wykres miejsca zerowego

Technika wykresów miejsca zerowego w systemie sterowania została po raz pierwszy wprowadzona w 1948 roku przez Evansa. Każdy fizyczny system jest reprezentowany przez funkcję przekształcenia w postaci

Możemy znaleźć bieguny i zera z G(s). Położenie biegunów i zer jest kluczowe pod względem stabilności, względną stabilnością, odpowiedzi przejściowej i analizy błędów. Gdy system zostanie wprowadzony do użytku, indukcyjność i pojemność obcego źródła wprowadzają się do systemu, co zmienia położenie biegunów i zer. W technice wykresów miejsca zerowego w systemie sterowania ocenimy położenie pierwiastków, ich tor ruchu i powiązane informacje. Te informacje zostaną wykorzystane do komentowania wydajności systemu.
Przed wprowadzeniem, czym jest technika wykresów miejsca zerowego, jest bardzo istotne, aby omówić niektóre z zalet tej techniki nad innymi kryteriami stabilności. Niektóre z zalet techniki wykresów miejsca zerowego są wymienione poniżej.

Zalety techniki wykresów miejsca zerowego

1. Technika wykresów miejsca zerowego w systemie sterowania jest łatwiejsza do implementacji w porównaniu z innymi metodami.

2. Z pomocą wykresów miejsca zerowego możemy łatwo przewidzieć wydajność całego systemu.

3. Wykresy miejsca zerowego zapewniają lepszy sposób wskazania parametrów.

Istnieje wiele terminów związanych z techniką wykresów miejsca zerowego, które będziemy często używać w tym artykule.

1. Równanie charakterystyczne związane z techniką wykresów miejsca zerowego : 1 + G(s)H(s) = 0 jest znane jako równanie charakterystyczne. Różniczkując to równanie charakterystyczne i przyrównując dk/ds do zera, możemy uzyskać punkty odłączenia.

2. Punkty odłączenia : Przypuśćmy, że dwa wykresy miejsca zerowego, które zaczynają się od bieguna i poruszają się w przeciwnych kierunkach, zderzają się ze sobą tak, że po zderzeniu zaczynają się poruszać w różnych kierunkach symetrycznie. Lub punkty odłączenia, w których występują wielokrotne pierwiastki równania charakterystycznego 1 + G(s)H(s) = 0. Wartość K jest maksymalna w punktach, w których gałęzie wykresów miejsca zerowego odłączają się. Punkty odłączenia mogą być rzeczywiste, urojone lub zespolone.

3. Punkty połączenia : Warunek połączenia na wykresie jest napisany poniżej : Wykres miejsca zerowego musi być obecny między dwoma sąsiadującymi zerami na osi rzeczywistej.

4. Środek ciężkości : Jest również znany jako centroid i definiuje się jako punkt na wykresie, od którego zaczynają się wszystkie asymptoty. Matematycznie oblicza się go poprzez różnicę sumy biegunów i zer w funkcji przekształcenia, gdy dzielona jest przez różnicę całkowitej liczby biegunów i całkowitej liczby zer. Środek ciężkości jest zawsze rzeczywisty i oznaczony jest przez σA.
   
   Gdzie N to liczba biegunów, a M to liczba zer.

5. Asymptoty wykresów miejsca zerowego : Asymptota pochodzi ze środka ciężkości lub centroidu i przechodzi do nieskończoności pod określonym kątem. Asymptoty dostarczają kierunku wykresom miejsca zerowego, gdy odchodzą od punktów odłączenia.

6. Kąt asymptot : Asymptoty tworzą pewien kąt z osią rzeczywistą, a ten kąt można obliczyć z podanego wzoru,
   
   Gdzie p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N to całkowita liczba biegunów
   M to całkowita liczba zer.

7. Kąt wejścia lub wyjścia : Obliczamy kąt wyjścia, gdy w systemie występują zespolone bieguny. Kąt wyjścia można obliczyć jako 180-{(suma kątów do zespolonego bieguna od innych biegunów)-(suma kątów do zespolonego bieguna od zer)}.

8. Przecięcie wykresu miejsca zerowego z osią urojoną : Aby ustalić punkt przecięcia wykresu miejsca zerowego z osią urojoną, musimy użyć kryterium Routh-Hurwitza. Najpierw znajdujemy równanie pomocnicze, a następnie odpowiadająca mu wartość K da nam wartość punktu przecięcia.

9. Margines wzmocnienia : Definiujemy margines wzmocnienia jako wartość, o którą można pomnożyć projektową wartość współczynnika wzmocnienia, zanim system stanie się niestabilny. Matematycznie dany jest wzorem
   

10. Margines fazowy : Margines fazowy można obliczyć z podanego wzoru:
    

11. Symetria wykresu miejsca zerowego : Wykres miejsca zerowego jest symetryczny względem osi x lub osi rzeczywistej.

Jak określić wartość K w dowolnym punkcie wykresu miejsca zerowego? Istnieją dwa sposoby określenia wartości K, każdy z nich opisany jest poniżej.

1. Kryterium amplitudowe : W dowolnym punkcie wykresu miejsca zerowego możemy zastosować kryterium amplitudowe, jako
   
   Używając tego wzoru możemy obliczyć wartość K w dowolnym pożądanym punkcie.

2. Używając wykresu miejsca zerowego : Wartość K w dowolnym s na wykresie miejsca zerowego wynosi
   

Wykres miejsca zerowego

To jest również znane jako technika wykresów miejsca zerowego w systemie sterowania i jest używane do określania stabilności danego systemu. Aby określić stabilność systemu za pomocą techniki wykresów miejsca zerowego, znajdziemy zakres wartości K, dla których pełna wydajność systemu będzie zadowalająca i operacja będzie stabilna.
Istnieją pewne wyniki, które należy pamiętać, aby sporządzić wykres miejsca zerowego. Te wyniki są wymienione poniżej:

1. Obszar, gdzie wykres miejsca zerowego istnieje : Po naniesieniu wszystkich biegunów i zer na płaszczyznę, możemy łatwo ustalić obszar istnienia wykresu miejsca zerowego, korzystając z jednego prostego reguły, która jest napisana poniżej,
   Tylko ten segment zostanie uwzględniony w tworzeniu wykresu miejsca zerowego, jeśli całkowita liczba biegunów i zer po prawej stronie segmentu jest nieparzysta.

2. Jak obliczyć liczbę oddzielnych wykresów miejsca zerowego ? : Liczba oddzielnych wykresów miejsca zerowego jest równa całkowitej liczbie pierwiastków, jeśli liczba pierwiastków jest większa niż liczba biegunów, w przeciwnym razie liczba oddzielnych wykresów miejsca zerowego jest równa całkowitej liczbie biegunów, jeśli liczba pierwiastków jest większa niż liczba zer.

Procedura sporządzania wykresu miejsca zerowego

Pamiętając o tych wszystkich punktach, jesteśmy w stanie narysować wykres miejsca zerowego dla dowolnego rodzaju systemu. Omówmy teraz procedurę tworzenia wykresu miejsca zerowego.

1. Znajdź wszystkie pierwiastki i bieguny z otwartego pętlowego równania przekształcenia, a następnie nanieś je na płaszczyznę zespoloną.

2. Wszystkie wykresy miejsca zerowego zaczynają się od biegunów, gdzie k = 0, i kończą na zerach, gdzie K dąży do nieskończoności. Liczba gałęzi kończących się w nieskończoności jest równa różnicy między liczbą biegunów i liczbą zer G(s)H(s).

3. Znajdź obszar istnienia wykresów miejsca zerowego z metody opisanej powyżej po znalezieniu wartości M i N.

4. Oblicz punkty odłączenia i punkty połączenia, jeśli takie istnieją.

5. Nanieś asymptoty i punkt centroidu na płaszczyźnie zespolonej dla wykresów miejsca zerowego, obliczając nachylenie asymptot.

6. Teraz oblicz kąt wyjścia i przecięcie wykresów miejsca zerowego z osią urojoną.

7. Teraz określ wartość K, używając dowolnej z metod, które opisałem powyżej.

   Postępując zgodnie z powyższą procedurą, możesz łatwo narysować wykres miejsca zerowego dla dowolnej otwartej pętlowej funkcji przekształcenia.

8. Oblicz margines wzmocnienia.

9. Oblicz margines fazowy.

10. Możesz łatwo skomentować stabilność systemu, używając tablicy Routh.

Oświadczenie: Szacunek oryginału, dobre artykuły warte udostępniania, jak istnieje infringement