تکنیک مکان هندسی ریشه در سیستم کنترل | نمودار مکان هندسی ریشه

تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل اولین بار در سال ۱۹۴۸ توسط اوانز معرفی شد. هر سیستم فیزیکی با یک تابع انتقال به صورت زیر نشان داده می‌شود

ما می‌توانیم قطب‌ها و صفرها را از G(s) پیدا کنیم. مکان قطب‌ها و صفرها برای پایداری، پایداری نسبی، پاسخ گذرا و تحلیل خطا مهم است. وقتی سیستم در خدمت است، القای جانبی و ظرفیت به سیستم وارد می‌شود و مکان قطب‌ها و صفرها را تغییر می‌دهد. در تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل ما موقعیت ریشه‌ها، حرکت آنها و اطلاعات مربوطه را ارزیابی می‌کنیم. این اطلاعات برای نظر دادن درباره عملکرد سیستم استفاده می‌شوند.
اکنون قبل از معرفی تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها، بسیار ضروری است که برخی مزایای این تکنیک نسبت به سایر معیارهای پایداری بحث شود. برخی از مزایای تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها در زیر آمده است.

مزایای تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها

1. تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل نسبت به سایر روش‌ها ساده‌تر است.

2. با کمک مکان هندسی ریشه‌ها می‌توانیم عملکرد کل سیستم را به راحتی پیش‌بینی کنیم.

3. مکان هندسی ریشه‌ها روش بهتری برای نشان دادن پارامترها فراهم می‌کند.

اکنون موارد مختلفی مرتبط با تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها وجود دارد که در این مقاله به طور مکرر از آنها استفاده خواهیم کرد.

1. معادله مشخصه مرتبط با تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها : 1 + G(s)H(s) = 0 به عنوان معادله مشخصه شناخته می‌شود. حالا با مشتق گرفتن از معادله مشخصه و مساوی کردن dk/ds با صفر، می‌توانیم نقاط پخش را پیدا کنیم.

2. نقاط پخش : فرض کنید دو مکان هندسی ریشه که از قطب شروع می‌شوند و در جهات مخالف حرکت می‌کنند با یکدیگر برخورد می‌کنند به طوری که پس از برخورد آنها در جهات مختلف به صورت متقارن حرکت می‌کنند. یا نقاط پخش جایی که ریشه‌های چندگانه معادله مشخصه 1 + G(s)H(s) = 0 رخ می‌دهد. مقدار K در نقاطی که شاخه‌های مکان هندسی ریشه‌ها پخش می‌شوند بیشترین مقدار را دارد. نقاط پخش می‌توانند حقیقی، موهومی یا مختلط باشند.

3. نقاط ورود : شرایط ورود بر روی نمودار به صورت زیر نوشته شده است : مکان هندسی ریشه‌ها باید بین دو صفر مجاور روی محور حقیقی باشد.

4. مرکز ثقل : این مرکز نیز به عنوان مرکز گرانی شناخته می‌شود و به عنوان نقطه‌ای تعریف می‌شود که از آن تمام خطوط مجانب شروع می‌شوند. ریاضیاً، این نقطه با تفاوت مجموع قطب‌ها و صفرها در تابع انتقال وقتی تقسیم بر تفاوت تعداد کل قطب‌ها و تعداد کل صفرها شود محاسبه می‌شود. مرکز گرانی همیشه حقیقی است و با σA نشان داده می‌شود.
   
   که در آن N تعداد قطب‌ها و M تعداد صفرها است.

5. خط‌های مجانب مکان هندسی ریشه‌ها : خط‌های مجانب از مرکز گرانی یا مرکز گرانی شروع می‌شوند و به بینهایت در زاویه معینی می‌روند. خط‌های مجانب جهت مکان هندسی ریشه‌ها را وقتی از نقاط پخش جدا می‌شوند نشان می‌دهند.

6. زاویه خط‌های مجانب : خط‌های مجانب با محور حقیقی زاویه‌ای می‌سازند و این زاویه می‌تواند از فرمول زیر محاسبه شود،
   
   که در آن p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N تعداد کل قطب‌ها است
   M تعداد کل صفرها است.

7. زاویه ورود یا خروج : وقتی در سیستم قطب‌های مختلط وجود دارد، زاویه خروج را محاسبه می‌کنیم. زاویه خروج می‌تواند به صورت 180-{(مجموع زوایا به یک قطب مختلط از سایر قطب‌ها)-(مجموع زوایا به یک قطب مختلط از صفرها)} محاسبه شود.

8. تقاطع مکان هندسی ریشه‌ها با محور موهومی : برای یافتن نقطه تقاطع مکان هندسی ریشه‌ها با محور موهومی، باید از معیار رات-هرویتز استفاده کنیم. ابتدا معادله کمکی را پیدا می‌کنیم و سپس مقدار متناظر K نقطه تقاطع را خواهد داد.

9. حد پایداری : حد پایداری به مقداری از عامل کسب که می‌تواند در طراحی ضرب شود تا سیستم ناپایدار شود تعریف می‌شود. ریاضیاً این مقدار با فرمول زیر محاسبه می‌شود
   

10. حد فاز : حد فاز می‌تواند از فرمول زیر محاسبه شود:
    

11. تقارن مکان هندسی ریشه‌ها : مکان هندسی ریشه‌ها نسبت به محور x یا محور حقیقی متقارن است.

چگونه مقدار K در هر نقطه‌ای از مکان هندسی ریشه‌ها تعیین می‌شود؟ حالا دو روش برای تعیین مقدار K وجود دارد، هر روش در زیر توضیح داده شده است.

1. معیار اندازه : در هر نقطه‌ای از مکان هندسی ریشه‌ها می‌توانیم معیار اندازه را به صورت زیر اعمال کنیم،
   
   با استفاده از این فرمول می‌توانیم مقدار K در هر نقطه‌ای مورد نظر را محاسبه کنیم.

2. با استفاده از نمودار مکان هندسی ریشه‌ها : مقدار K در هر s روی مکان هندسی ریشه‌ها به صورت زیر داده می‌شود
   

نمودار مکان هندسی ریشه‌ها

این نیز به عنوان تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل شناخته می‌شود و برای تعیین پایداری سیستم داده شده استفاده می‌شود. حالا برای تعیین پایداری سیستم با استفاده از تکنیک مکان هندسی ریشه‌ها، ما محدوده مقادیر K را پیدا می‌کنیم که عملکرد کامل سیستم رضایت‌بخش خواهد بود و عملکرد پایدار است.
حالا برخی نتایج وجود دارد که باید در ذهن داشته باشیم تا نمودار مکان هندسی ریشه‌ها را رسم کنیم. این نتایج در زیر آمده است:

1. منطقه‌ای که مکان هندسی ریشه‌ها در آن وجود دارد : بعد از رسم همه قطب‌ها و صفرها روی صفحه، می‌توانیم به راحتی منطقه وجود مکان هندسی ریشه‌ها را با استفاده از یک قاعده ساده که در زیر آمده است پیدا کنیم،
   فقط آن بخشی برای رسم مکان هندسی ریشه‌ها در نظر گرفته می‌شود که تعداد کل قطب‌ها و صفرها در سمت راست آن بخش فرد باشد.

2. چگونه تعداد مکان هندسی ریشه‌ها جداگانه محاسبه می‌شود؟ : تعداد مکان هندسی ریشه‌ها جداگانه برابر با تعداد کل ریشه‌ها است اگر تعداد ریشه‌ها بیشتر از تعداد قطب‌ها باشد در غیر این صورت تعداد مکان هندسی ریشه‌ها جداگانه برابر با تعداد کل قطب‌ها است اگر تعداد ریشه‌ها بیشتر از تعداد صفرها باشد.

روند رسم مکان هندسی ریشه‌ها

با توجه به همه این نکات، ما قادر به رسم نمودار مکان هندسی ریشه‌ها برای هر نوع سیستمی هستیم. حالا بیایید روند رسم مکان هندسی ریشه‌ها را بحث کنیم.

1. تمام ریشه‌ها و قطب‌ها را از تابع انتقال حلقه باز پیدا کنید و آنها را روی صفحه مختلط رسم کنید.