Tehnika mješovitog mjesta korijena u sustavu upravljanja | Grafikon mješovitog mjesta korijena

Tehnika lokusa korijena u sustavima upravljanja prvi je put predstavljena 1948. godine od strane Evansa. Bilo koji fizički sustav predstavljen je funkcijom prijenosa u obliku

Možemo pronaći polove i nule iz G(s). Lokacija polova i nula je ključna za razmatranje stabilnosti, relativne stabilnosti, privremene odgovore i analizu grešaka. Kada se sustav stavlja u rad, strana induktivnost i kapacitivnost uđu u sustav, čime se mijenja lokacija polova i nula. U tehnikama lokusa korijena u sustavima upravljanja procijenit ćemo položaj korijena, njihovu lokaciju kretanja i povezane informacije. Ove informacije koristit će se za komentiranje performansi sustava.
Sada, prije nego što predstavim što je tehnikom lokusa korijena, vrlo je važno ovdje diskutirati neke od prednosti ove tehnike nad drugim kriterijima stabilnosti. Neki od prednosti tehnike lokusa korijena su navedeni ispod.

Prednosti tehnike lokusa korijena

1. Tehnika lokusa korijena u sustavima upravljanja je lakša za implementaciju uspoređujući s drugim metodama.

2. Pomoću lokusa korijena možemo lako predvidjeti performanse cijelog sustava.

3. Lokus korijena pruža bolji način za označavanje parametara.

Sada postoje razne termini vezani uz tehniku lokusa korijena koje ćemo često koristiti u ovom članku.

1. Karakteristična jednadžba vezana uz tehniku lokusa korijena : 1 + G(s)H(s) = 0 poznata je kao karakteristična jednadžba. Sada, diferencirajući karakterističnu jednadžbu i jednakosti dk/ds nuli, možemo dobiti točke povratka.

2. Točke povratka : Pretpostavimo da dva lokusa korijena koji počinju od pola i kreću u suprotnim smjerovima sudaraju se tako da nakon sudara počnu kretati u različitim smjerovima simetrično. Ili točke povratka gdje višestruki korijeni karakteristične jednadžbe 1 + G(s)H(s) = 0 nastaju. Vrijednost K je maksimalna u točkama gdje grane lokusa korijena povrate. Točke povratka mogu biti realne, imaginarni ili kompleksne.

3. Točke ulaska : Uvjeti za postojanje točaka ulaska na grafikonu su navedeni ispod : Lokus korijena mora biti prisutan između dvaju susjednih nula na realnoj osi.

4. Centar težišta : Također poznat kao centroid i definiran je kao točka na grafikonu odakle sve asimptote započinju. Matematički, računa se razlikom zbroja polova i nula u funkciji prijenosa kada se podijeli s razlikom ukupnog broja polova i ukupnog broja nula. Centar težišta uvijek je realan i označava se sa σA.
   
   Gdje je N broj polova, a M broj nula.

5. Asimptote lokusa korijena : Asimptota počinje od centra težišta ili centroida i ide do beskonačnosti pod određenim kutom. Asimptote pružaju smjer lokusu korijena kada one odlaze iz točaka povratka.

6. Kut asimptota : Asimptote formiraju određeni kut s realnom osi, a taj kut može se izračunati iz sljedeće formule,
   
   Gdje je p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N je ukupan broj polova
   M je ukupan broj nula.

7. Kut dolaska ili odlaska : Izračunavamo kut dolaska kada u sustavu postoje kompleksni polovi. Kut dolaska može se izračunati kao 180-{(suma kutova do kompleksnog pola od ostalih polova)-(suma kutova do kompleksnog pola od nula)}.

8. Presjek lokusa korijena s imaginarnom osi : Za pronalaženje točke presjeka lokusa korijena s imaginarnom osi, moramo koristiti kriterij Routh-Hurwitz. Prvo, pronađemo pomoćnu jednadžbu, a zatim odgovarajuća vrijednost K daje vrijednost točke presjeka.

9. Margina pojačanja : Definiramo margina pojačanja kojom se dizajnerska vrijednost faktora pojačanja može pomnožiti prije nego što sustav postane nestabilan. Matematički dana je formulom
   

10. Margina faze : Margina faze može se izračunati iz sljedeće formule:
    

11. Simetrija lokusa korijena : Lokus korijena je simetričan oko x osi ili realne osi.

Kako odrediti vrijednost K na bilo kojoj točki na lokusu korijena? Sada postoje dva načina određivanja vrijednosti K, svaki način opisan je ispod.

1. Kriterij magnituda : Na bilo kojoj točki na lokusu korijena možemo primijeniti kriterij magnituda kao,
   
   Koristeći ovu formulu možemo izračunati vrijednost K na bilo kojoj željenoj točki.

2. Korištenjem dijagrama lokusa korijena : Vrijednost K na bilo kojem s na lokusu korijena dana je
   

Dijagram lokusa korijena

Ovo je također poznato kao tehnikom lokusa korijena u sustavima upravljanja i koristi se za određivanje stabilnosti danog sustava. Sada, kako bismo odredili stabilnost sustava koristeći tehniku lokusa korijena, pronađemo raspon vrijednosti K za koje će potpuna performansa sustava biti zadovoljavajuća i operacija stabilna.
Sada postoje neki rezultati koje treba zapamtiti kako bi se crtao lokus korijena. Ti rezultati su navedeni ispod:

1. Regija gdje postoji lokus korijena : Nakon crtanja svih polova i nula na ravnini, lako možemo pronaći regiju postojanja lokusa korijena koristeći jednostavno pravilo koje je navedeno ispod,
   Samo onaj segment bit će uzet u obzir u crtanju lokusa korijena ako je ukupan broj polova i nula desno od segmenta neparni.

2. Kako izračunati broj zasebnih lokusa korijena ? : Broj zasebnih lokusa korijena jednak je ukupnom broju korijena ako je broj korijena veći od broja polova, inače broj zasebnih lokusa korijena jednak je ukupnom broju polova ako je broj korijena veći od broja nula.

Postupak crtanja lokusa korijena

Zapamte li sve ove točke, možemo lako nacrtati dijagram lokusa korijena za bilo koji tip sustava. Sada, recimo nekoliko riječi o postupku crtanja lokusa korijena.

1. Pronađite sve korijene i polove iz otvorene petlje funkcije prijenosa i nacrtajte ih na kompleksnoj ravnini.

2. Svi lokusi korijena započinju od polova gdje je k = 0 i završavaju na nulama gdje K teži beskonačnosti. Broj granâ koje završavaju na beskonačnosti jednak je razlici između broja polova i broja nula od G(s)H(s).

3. Pronađite regiju postojanja lokusa korijena metodom opisanim iznad nakon pronađenih vrijednosti M i N.

4. Izračunajte točke povratka i točke ulaska, ako postoje.

5. Nacrtajte asimptote i točku centra težišta na kompleksnoj ravnini za lokuse korijena izračunavajući nagib asimptota.

6. Sada izračunajte kut odlaska i presjek lokusa korijena s imaginarnom osi.

7. Sada odredite vrijednost K koristeći bilo koju od metoda koje sam opisao iznad.

   Slijedeći gore navedeni postupak, lako možete nacrtati dijagram lokusa korijena za bilo koju otvorenu petlju funkcije prijenosa.

8. Izračunajte marginu pojačanja.

9. Izračunajte marginu faze.

10. Lako možete komentirati stabilnost sustava koristeći Routhovu matricu.

Izjava: Poštujte original, dobre članke vrijedi podijeliti, ako postoji kršenje autorskih prava molim o brisanje.