Tècnica de Lloc de les Arrels en Sistemes de Control | Gràfic del Lloc de les Arrels

La tècnica del lloc de les arrels en sistemes de control va ser introduïda per primera vegada el 1948 per Evans. Qualsevol sistema físic es representa mitjançant una funció de transferència en la forma de

Podem trobar els pols i zeros a partir de G(s). La ubicació dels pols i zeros és crucial per la estabilitat, la estabilitat relativa, la resposta transitoria i l'anàlisi d'errors. Quan el sistema es posa en servei, les inductàncies i capacitanciès estranyes s'introdueixen al sistema, canviant així la ubicació dels pols i zeros. En la tècnica del lloc de les arrels en sistemes de control avaluarem la posició de les arrels, la seva trajectòria de moviment i la informació associada. Aquesta informació s'utilitzarà per fer comentaris sobre el rendiment del sistema.
Ara, abans d'introduir què és la tècnica del lloc de les arrels, és molt important discutir alguns dels avantatges d'aquesta tècnica sobre altres criteris d'estabilitat. Alguns dels avantatges de la tècnica del lloc de les arrels són els següents.

Avantatges de la Tècnica del Lloc de les Arrels

1. La tècnica del lloc de les arrels en sistemes de control és més fàcil d'implementar en comparació amb altres mètodes.

2. Amb l'ajuda del lloc de les arrels, podem preveure fàcilment el rendiment de tot el sistema.

3. El lloc de les arrels proporciona una millor manera d'indicar els paràmetres.

Ara hi ha diversos termes relacionats amb la tècnica del lloc de les arrels que utilitzarem freqüentment en aquest article.

1. Equació Característica Relacionada amb la Tècnica del Lloc de les Arrels : 1 + G(s)H(s) = 0 és coneguda com a equació característica. Ara, diferenciant l'equació característica i igualant dk/ds a zero, podem obtenir els punts de separació.

2. Punts de Separació : Suposem que dos llocs de les arrels que comencen des d'un pol i es mouen en direccions oposades col·lideixen entre si de tal manera que, després de la col·lisió, comencen a moure's en direccions diferents de manera simètrica. O els punts de separació en què es produeixen múltiples arrels de l'equació característica 1 + G(s)H(s) = 0. El valor de K és màxim en els punts on les branques del lloc de les arrels es separen. Els punts de separació poden ser reals, imaginaris o complexos.

3. Punts de Unió : La condició perquè hi hagi punts de unió en el gràfic és la següent : El lloc de les arrels ha de estar present entre dos zeros adjacents a l'eix real.

4. Centre de Gravetat : També es coneix com a centroide i es defineix com el punt del gràfic des d'on comencen totes les asímptotes. Matemàticament, es calcula amb la diferència de la suma dels pols i zeros en la funció de transferència quan es divideix per la diferència del nombre total de pols i el nombre total de zeros. El centre de gravetat és sempre real i es denota per σA.
   
   On, N és el nombre de pols i M és el nombre de zeros.

5. Asímptotes del Lloc de les Arrels : Les asímptotes provenen del centre de gravetat o centroide i van cap a l'infinit a un angle definit. Les asímptotes proporcionen direcció al lloc de les arrels quan esparen els punts de separació.

6. Angle de les Asímptotes : Les asímptotes formen un angle amb l'eix real i aquest angle es pot calcular amb la fórmula següent,
   
   On, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N és el nombre total de pols
   M és el nombre total de zeros.

7. Angle de Sortida o Entrada : Calculem l'angle de sortida quan hi ha pols complexes en el sistema. L'angle de sortida es pot calcular com 180-{(suma d'angles a un pol complex des d'altres pols)-(suma d'angles a un pol complex des dels zeros)}.

8. Intersecció del Lloc de les Arrels amb l'Eix Imaginari : Per a trobar el punt d'intersecció del lloc de les arrels amb l'eix imaginari, hem d'utilitzar el criteri de Routh-Hurwitz. Primer, trobem l'equació auxiliar, llavors el valor corresponent de K ens donarà el valor del punt d'intersecció.

9. Marge de Ganancia : Definim el marge de ganancia com el factor pel qual es pot multiplicar el valor de disseny de la ganancia abans que el sistema esdevingui inestable. Matemàticament es dóna per la fórmula
   

10. Marge de Fase : El marge de fase es pot calcular amb la fórmula següent:
    

11. Simetria del Lloc de les Arrels : El lloc de les arrels és simètric respecte a l'eix x o l'eix real.

Com determinar el valor de K en qualsevol punt del lloc de les arrels? Ara hi ha dues maneres de determinar el valor de K, cadascuna es descriu a continuació.

1. Criteri de Magnitud : En qualsevol punt del lloc de les arrels, podem aplicar el criteri de magnitud com,
   
   Utilitzant aquesta fórmula, podem calcular el valor de K en qualsevol punt desitjat.

2. Utilitzant el Gràfic del Lloc de les Arrels : El valor de K en qualsevol s del lloc de les arrels es dóna per
   

Gràfic del Lloc de les Arrels

Això també es coneix com a tècnica del lloc de les arrels en sistemes de control i s'utilitza per determinar l'estabilitat del sistema donat. Ara, per a determinar l'estabilitat del sistema utilitzant la tècnica del lloc de les arrels, trobem el rang de valors de K per als quals el rendiment complet del sistema serà satisfactori i l'operació serà estable.
Ara, hi ha alguns resultats que cal recordar per a traçar el lloc de les arrels. Aquests resultats són els següents:

1. Regió on existeix el lloc de les arrels : Després de traçar tots els pols i zeros al pla, podem trobar fàcilment la regió d'existència del lloc de les arrels utilitzant una regla simple, que es detalla a continuació,
   Només aquell segment es considerarà en la creació del lloc de les arrels si el nombre total de pols i zeros a la dreta del segment és senar.

2. Com calcular el nombre de llocs de les arrels independents ? : El nombre de llocs de les arrels independents és igual al nombre total d'arrels si el nombre d'arrels és major que el nombre de pols, en cas contrari, el nombre de llocs de les arrels independents és igual al nombre total de pols si el nombre d'arrels és major que el nombre de zeros.

Procediment per Traçar el Lloc de les Arrels

Tenint en compte tots aquests punts, som capaços de dibuixar el gràfic del lloc de les arrels per a qualsevol tipus de sistema. Ara, discutim el procediment per a crear un lloc de les arrels.

1. Troba tots els zeros i pols de la funció de transferència en bucle obert i després dibuixa'ls al pla complex.

2. Tots els llocs de les arrels comencen des dels pols on k = 0 i terminen als zeros on K tendeix a infinit. El nombre de branques que terminen a l'infinit és igual a la diferència entre el nombre de pols i el nombre de zeros de G(s)H(s).

3. Troba la regió d'existència dels llocs de les arrels amb el mètode descrit anteriorment després de trobar els valors de M i N.

4. Calcula els punts de separació i punts de unió si n'hi ha.

5. Dibuixa les asímptotes i el punt de centroide al pla complex per als llocs de les arrels calculant la pendent de les asímptotes.

6. Ara, calcula l'angle de sortida i la intersecció dels llocs de les arrels amb l'eix imaginari.

7. Ara, determina el valor de K utilitzant qualsevol dels mètodes que he descrit anteriorment.

   Seguint aquest procediment, pots dibuixar fàcilment el gràfic del lloc de les arrels per a qualsevol funció de transferència en bucle obert.

8. Calcula el marge de ganancia.

9. Calcula el marge de fase.

10. Pots comentar fàcilment sobre l'estabilitat del sistema utilitzant la taula de Routh.

Declaració: Respecta l'original, els bons articles merescen ser compartits, si hi ha infracció de drets contacta per eliminar.