Tehnika nultih lokusa u sistemu kontrole | Grafik nultih lokusa

Tehnika lokusa korena u sistemu kontrole prvi put je predstavljena 1948. godine od strane Evansa. Bilo koji fizički sistem predstavlja se prenosnom funkcijom u obliku

Možemo naći polove i nule iz G(s). Lokacija polova i nula je ključna za stabilnost, relativnu stabilnost, privremenu odgovornost i analizu greške. Kada se sistem postavi u rad, strana induktivnost i kapacitivnost ulaze u sistem, time menjaju lokaciju polova i nula. U tehnikama lokusa korena u sistemu kontrole oceniti ćemo poziciju korena, njihovu putanju kretanja i povezanu informaciju. Ove informacije koristit će se da komentarišu performanse sistema.
Sada, pre nego što predstavim šta je tehnika lokusa korena, veoma je bitno ovdje diskutirati neke od prednosti ove tehnike nad drugim kriterijumima stabilnosti. Neki od prednosti tehnike lokusa korena su navedeni ispod.

Prednosti tehnike lokusa korena

1. Tehnika lokusa korena u sistemu kontrole je lakše implementirati u poređenju sa drugim metodama.

2. Sa pomoću lokusa korena može se lako predvideti performanse celog sistema.

3. Lokus korena pruža bolji način za označavanje parametara.

Sada postoje razne termine vezane za tehniku lokusa korena koje ćemo često koristiti u ovom članku.

1. Karakteristična jednačina vezana za tehniku lokusa korena : 1 + G(s)H(s) = 0 poznata je kao karakteristična jednačina. Sada, diferenciranjem karakteristične jednačine i jednakosti dk/ds nuli, možemo dobiti tačke odlaska.

2. Tačke odlaska : Pretpostavimo da dva lokusa korena, koji počinju od pola i kreću se u suprotnom smeru, sudaraju jedan sa drugim tako da nakon sudara počnu da se kreću u različitim smerovima simetrično. Ili tačke odlaska na kojima se javljaju višestruki koren karakteristične jednačine 1 + G(s)H(s) = 0. Vrednost K je maksimalna u tačkama gde grane lokusa korena odlaze. Tačke odlaska mogu biti realne, imaginarni ili kompleksne.

3. Tačke dolaska : Uslov za dolazak na grafiku je napisan ispod : Lokus korena mora biti prisutan između dveju susednih nula na realnoj osi.

4. Centar težišta : Takođe poznat kao centoid i definisan je kao tačka na grafiku od koje sve asimptote počinju. Matematički, izračunava se razlikom sume polova i nula u prenosnoj funkciji kada se podeli sa razlikom ukupnog broja polova i ukupnog broja nula. Centar težišta je uvek realan i označava se sa σA.
   
   Gdje, N je broj polova, a M je broj nula.

5. Asimptote lokusa korena : Asimptota počinje od centra težišta ili centoida i ide do beskonačnosti pod određenim uglom. Asimptote pružaju smer lokusu korena kada odlaze tačke odlaska.

6. Ugao asimptota : Asimptote formiraju određeni ugao sa realnom osom, a ovaj ugao može se izračunati koristeći datu formulu,
   
   Gdje, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N je ukupan broj polova
   M je ukupan broj nula.

7. Ugao dolaska ili odlaska : Izračunavamo ugao odlaska kada u sistemu postoje kompleksni polovi. Ugao odlaska može se izračunati kao 180-{(suma uglova do kompleksnog pola od ostalih polova)-(suma uglova do kompleksnog pola od nula)}.

8. Presjek lokusa korena sa imaginarnom osom : Da bismo pronašli tačku presjeka lokusa korena sa imaginarnom osom, moramo koristiti kriterij Routh-Hurwitz. Prvo, pronađemo pomoćnu jednačinu, a zatim odgovarajuća vrednost K će dati vrednost tačke presjeka.

9. Margina dobiti : Definišemo marginu dobiti kao faktor dobiti projektnih vrednosti preko kojih sistem postaje nestabilan. Matematički, to je dato formulom
   

10. Margina faze : Margina faze može se izračunati koristeći datu formulu:
    

11. Simetrija lokusa korena : Lokus korena je simetričan u odnosu na x osu ili realnu osu.

Kako odrediti vrednost K na bilo kojoj tački na lokusu korena? Sada postoje dva načina određivanja vrednosti K, svaki način je opisan ispod.

1. Kriterij magnituda : Na bilo kojoj tački na lokusu korena možemo primeniti kriterij magnituda kao,
   
   Koristeći ovu formulu možemo izračunati vrednost K na bilo kojoj željenoj tački.

2. Korišćenjem grafa lokusa korena : Vrednost K na bilo kojoj tački s na lokusu korena dana je sa
   

Grafik lokusa korena

Ovo je poznato i kao tehnika lokusa korena u sistemu kontrole i koristi se za određivanje stabilnosti datog sistema. Sada, kako bismo odredili stabilnost sistema koristeći tehniku lokusa korena, pronađemo raspon vrednosti K za koje će potpuna performansa sistema biti zadovoljavajuća i operacija stabilna.
Sada postoje neki rezultati koje treba zapamtiti kako bi se nacrtao lokus korena. Ovi rezultati su navedeni ispod:

1. Regija gde lokus korena postoji : Nakon crtanja svih polova i nula na ravni, možemo lako pronaći regiju egzistencije lokusa korena koristeći jednostavno pravilo koje je napisano ispod,
   Samo taj segment će biti uzet u obzir prilikom crtanja lokusa korena ako je ukupan broj polova i nula desno od segmenta neparan.

2. Kako izračunati broj odvojenih lokusa korena ? : Broj odvojenih lokusa korena jednak je ukupnom broju korena ako je broj korena veći od broja polova, u suprotnom broj odvojenih lokusa korena jednak je ukupnom broju polova ako je broj korena veći od broja nula.

Procedura crtanja lokusa korena

Zapamtevši sve ove tačke, možemo nacrtati grafik lokusa korena za bilo kakav sistem. Sada, hajde da diskutujemo proceduru crtanja lokusa korena.

1. Pronađite sve korene i pole iz otvorene petlje prenosne funkcije i nacrtajte ih na kompleksnoj ravni.

2. Svi lokusi korena počinju od polova gde je k = 0 i završavaju na nulama gde K teži beskonačnosti. Broj granaka koji završavaju u beskonačnosti jednak je razlici između broja polova i broja nula od G(s)H(s).

3. Pronađite regiju egzistencije lokusa korena metodom opisanim iznad, nakon pronalaženja vrednosti M i N.

4. Izračunajte tačke odlaska i tačke dolaska, ako postoje.

5. Nacrtajte asimptote i tačku centra težišta na kompleksnoj ravni za lokus korena izračunavajući nagib asimptota.

6. Sada izračunajte ugao odlaska i presjek lokusa korena sa imaginarnom osom.

7. Sada odredite vrednost K koristeći bilo koju od metoda koje sam opisao iznad.

   Prateći gore navedenu proceduru, možete lako nacrtati grafik lokusa korena za bilo koju otvorenu petlju prenosne funkcije.

8. Izračunajte marginu dobiti.

9. Izračunajte marginu faze.

10. Možete lako komentarisati stabilnost sistema koristeći tabelu Rauta.

Izjava: Poštovanje originala, dobre članke vredi deliti, ukoliko postoji kršenje prava autorstva kontaktirajte za brisanje.