Técnica de Lugar de las Raíces en Sistemas de Control | Gráfico de Lugar de las Raíces

La técnica del lugar de las raíces en sistemas de control fue introducida por primera vez en el año 1948 por Evans. Cualquier sistema físico se representa mediante una función de transferencia en la forma de

Podemos encontrar polos y ceros de G(s). La ubicación de los polos y ceros es crucial para la estabilidad, estabilidad relativa, respuesta transitoria y análisis de error. Cuando el sistema se pone en servicio, inductancias y capacitancias parasitarias entran en el sistema, lo que cambia la ubicación de los polos y ceros. En la técnica del lugar de las raíces en sistemas de control evaluaremos la posición de las raíces, su trayectoria de movimiento e información asociada. Esta información se utilizará para comentar sobre el rendimiento del sistema.
Ahora, antes de introducir qué es la técnica del lugar de las raíces, es muy esencial discutir aquí algunas de las ventajas de esta técnica sobre otros criterios de estabilidad. Algunas de las ventajas de la técnica del lugar de las raíces se enumeran a continuación.

Ventajas de la Técnica del Lugar de las Raíces

1. La técnica del lugar de las raíces en sistemas de control es fácil de implementar en comparación con otros métodos.

2. Con la ayuda del lugar de las raíces, podemos predecir fácilmente el rendimiento de todo el sistema.

3. El lugar de las raíces proporciona una mejor manera de indicar los parámetros.

Ahora, hay varios términos relacionados con la técnica del lugar de las raíces que utilizaremos frecuentemente en este artículo.

1. Ecuación Característica Relacionada con la Técnica del Lugar de las Raíces : 1 + G(s)H(s) = 0 se conoce como ecuación característica. Ahora, al diferenciar la ecuación característica y al igualar dk/ds a cero, podemos obtener los puntos de separación.

2. Puntos de Separación : Supongamos que dos lugares de raíces que comienzan desde un polo y se mueven en direcciones opuestas colisionan entre sí de tal manera que, después de la colisión, comienzan a moverse en diferentes direcciones de manera simétrica. O los puntos de separación donde ocurren múltiples raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. El valor de K es máximo en los puntos donde las ramas del lugar de las raíces se separan. Los puntos de separación pueden ser reales, imaginarios o complejos.

3. Punto de Entrada : La condición para que haya un punto de entrada en el diagrama se escribe a continuación : El lugar de las raíces debe estar presente entre dos ceros adyacentes en el eje real.

4. Centro de Gravedad : También conocido como centroide y se define como el punto en el diagrama desde donde comienzan todas las asíntotas. Matemáticamente, se calcula mediante la diferencia de la suma de polos y ceros en la función de transferencia cuando se divide por la diferencia del número total de polos y el número total de ceros. El centro de gravedad siempre es real y se denota por σA.
   
   Donde, N es el número de polos y M es el número de ceros.

5. Asíntotas del Lugar de las Raíces : Las asíntotas se originan desde el centro de gravedad o centroide y van hacia el infinito a un ángulo definido. Las asíntotas proporcionan dirección al lugar de las raíces cuando se separan de los puntos de separación.

6. Ángulo de las Asíntotas : Las asíntotas forman algún ángulo con el eje real y este ángulo se puede calcular a partir de la fórmula dada,
   
   Donde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N es el número total de polos
   M es el número total de ceros.

7. Ángulo de Salida o Entrada : Calculamos el ángulo de salida cuando existen polos complejos en el sistema. El ángulo de salida se puede calcular como 180-{(suma de ángulos a un polo complejo desde los otros polos)-(suma de ángulos a un polo complejo desde los ceros)}.

8. Intersección del Lugar de las Raíces con el Eje Imaginario : Para encontrar el punto de intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario, tenemos que usar el criterio de Routh-Hurwitz. Primero, encontramos la ecuación auxiliar, luego el valor correspondiente de K dará el valor del punto de intersección.

9. Margen de Ganancia : Definimos el margen de ganancia por el cual el valor de diseño del factor de ganancia se puede multiplicar antes de que el sistema se vuelva inestable. Matemáticamente, se da por la fórmula
   

10. Margen de Fase : El margen de fase se puede calcular a partir de la fórmula dada:
    

11. Simetría del Lugar de las Raíces : El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje x o al eje real.

¿Cómo determinar el valor de K en cualquier punto del lugar de las raíces? Ahora, hay dos formas de determinar el valor de K, cada una se describe a continuación.

1. Criterio de Magnitud : En cualquier punto del lugar de las raíces, podemos aplicar el criterio de magnitud como,
   
   Usando esta fórmula, podemos calcular el valor de K en cualquier punto deseado.

2. Usando el Diagrama del Lugar de las Raíces : El valor de K en cualquier s en el lugar de las raíces se da por
   

Diagrama del Lugar de las Raíces

Esto también se conoce como técnica del lugar de las raíces en sistemas de control y se utiliza para determinar la estabilidad del sistema dado. Ahora, para determinar la estabilidad del sistema usando la técnica del lugar de las raíces, encontramos el rango de valores de K para los cuales el rendimiento completo del sistema será satisfactorio y la operación es estable.
Ahora, hay algunos resultados que uno debería recordar para trazar el lugar de las raíces. Estos resultados se escriben a continuación:

1. Región donde existe el lugar de las raíces : Después de trazar todos los polos y ceros en el plano, podemos encontrar fácilmente la región de existencia del lugar de las raíces utilizando una regla simple que se escribe a continuación,
   Solo ese segmento se considerará en la elaboración del lugar de las raíces si el número total de polos y ceros a la derecha del segmento es impar.

2. ¿Cómo calcular el número de lugares de raíces separados ? : El número de lugares de raíces separados es igual al número total de raíces si el número de raíces es mayor que el número de polos, de lo contrario, el número de lugares de raíces separados es igual al número total de polos si el número de raíces es mayor que el número de ceros.

Procedimiento para Trazar el Lugar de las Raíces

Teniendo en cuenta todos estos puntos, somos capaces de dibujar el diagrama del lugar de las raíces para cualquier tipo de sistema. Ahora, discutamos el procedimiento para hacer un lugar de las raíces.

1. Encuentra todos los polos y ceros de la función de transferencia en bucle abierto y trázalos en el plano complejo.

2. Todos los lugares de raíces comienzan desde los polos donde k = 0 y terminan en los ceros donde K tiende a infinito. El número de ramas que terminan en el infinito es igual a la diferencia entre el número de polos y el número de ceros de G(s)H(s).

3. Encuentra la región de existencia de los lugares de las raíces utilizando el método descrito anteriormente después de encontrar los valores de M y N.

4. Calcula los puntos de separación y los puntos de entrada si los hay.

5. Dibuja las asíntotas y el punto de centroide en el plano complejo para los lugares de las raíces calculando la pendiente de las asíntotas.

6. Ahora, calcula el ángulo de salida y la intersección de los lugares de las raíces con el eje imaginario.

7. Ahora, determina el valor de K utilizando cualquiera de los métodos que he descrito anteriormente.

   Siguiendo el procedimiento anterior, puedes dibujar fácilmente el diagrama del lugar de las raíces para cualquier función de transferencia en bucle abierto.

8. Calcula el margen de ganancia.

9. Calcula el margen de fase.

10. Puedes comentar fácilmente sobre la estabilidad del sistema utilizando la matriz de Routh.

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