เทคนิคการวิเคราะห์วงจรควบคุมด้วยการวาดรูทโลคัส | การวาดรูทโลคัส

เทคนิคแผนที่รากในระบบควบคุมถูกนำเสนอครั้งแรกในปี 1948 โดย Evans ระบบทางกายภาพใด ๆ สามารถแทนได้ด้วยฟังก์ชันการถ่ายโอนในรูปแบบของ

เราสามารถหาโพลและศูนย์จาก G(s) ตำแหน่งของโพลและศูนย์มีความสำคัญในการพิจารณาความเสถียร ความเสถียรเชิงสัมพัทธ์ การตอบสนองชั่วขณะและการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด เมื่อระบบเริ่มทำงาน อิน덕แตนซ์และแคปาซิแตนซ์ที่ไม่ต้องการจะเข้ามาในระบบ ทำให้ตำแหน่งของโพลและศูนย์เปลี่ยนแปลง ในเทคนิคแผนที่รากในระบบควบคุม เราจะประเมินตำแหน่งของราก แนวเคลื่อนที่ของราก และข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ข้อมูลเหล่านี้จะถูกใช้เพื่อแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับประสิทธิภาพของระบบ
ก่อนที่ผมจะแนะนำว่าเทคนิคแผนที่รากคืออะไร มันเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะหารือเกี่ยวกับข้อดีบางประการของเทคนิคนี้เมื่อเทียบกับเกณฑ์ความเสถียรอื่น ๆ ข้อดีบางประการของเทคนิคแผนที่รากได้แก่

ข้อดีของเทคนิคแผนที่ราก

1. เทคนิคแผนที่รากในระบบควบคุมสามารถนำมาใช้งานได้ง่ายกว่าวิธีอื่น ๆ

2. โดยใช้แผนที่ราก เราสามารถทำนายประสิทธิภาพของระบบได้ง่าย

3. แผนที่รากให้วิธีที่ดีในการแสดงพารามิเตอร์

ตอนนี้มีคำศัพท์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเทคนิคแผนที่รากที่เราจะใช้บ่อย ๆ ในบทความนี้

1. สมการลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับเทคนิคแผนที่ราก : 1 + G(s)H(s) = 0 ถูกเรียกว่าสมการลักษณะเฉพาะ ตอนนี้เมื่อเราทำการหาอนุพันธ์ของสมการลักษณะเฉพาะและกำหนด dk/ds เท่ากับศูนย์ เราสามารถหาจุดที่แตกหักได้

2. จุดที่แตกหัก : สมมติว่ามีแผนที่รากสองเส้นที่เริ่มจากโพลแล้วเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม กระทบกันแล้วเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางที่แตกต่างกันอย่างสมมาตร หรือจุดที่แตกหักคือจุดที่รากหลาย ๆ รากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 เกิดขึ้น ค่า K จะสูงสุดที่จุดที่แขนของแผนที่รากแตกหัก จุดที่แตกหักอาจเป็นจริง จินตนาการ หรือซับซ้อน

3. จุดที่แตกเข้า : เงื่อนไขสำหรับจุดที่แตกเข้าบนแผนที่ถูกเขียนไว้ดังนี้ : แผนที่รากต้องมีระหว่างศูนย์สองศูนย์ที่อยู่ติดกันบนแกนจริง.

4. ศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง : มันยังถูกเรียกว่าเซนทรอยด์และถูกกำหนดให้เป็นจุดบนแผนที่ที่แอสซิมโทตเริ่มต้น ทางคณิตศาสตร์ มันถูกคำนวณโดยผลต่างของผลรวมของโพลและศูนย์ในฟังก์ชันการถ่ายโอนเมื่อหารด้วยผลต่างของจำนวนโพลทั้งหมดและจำนวนศูนย์ทั้งหมด ศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงมักจะเป็นจริงและถูกแทนด้วย σA.
   
   เมื่อ N คือจำนวนโพลและ M คือจำนวนศูนย์

5. แอสซิมโทตของแผนที่ราก : แอสซิมโทตเริ่มต้นจากศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงหรือเซนทรอยด์และไปสู่อนันต์ที่มุมแน่นอน แอสซิมโทตให้ทิศทางแก่แผนที่รากเมื่อมันออกจากจุดที่แตกหัก

6. มุมของแอสซิมโทต : แอสซิมโทตทำมุมกับแกนจริงและมุมนี้สามารถคำนวณได้จากสูตรที่กำหนดให้
   
   เมื่อ p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N คือจำนวนโพลทั้งหมด
   M คือจำนวนศูนย์ทั้งหมด

7. มุมของการออกเดินทางหรือมุมของการเข้าถึง : เราคำนวณมุมของการออกเดินทางเมื่อมีโพลที่ซับซ้อนในระบบ มุมของการออกเดินทางสามารถคำนวณได้เป็น 180-{(ผลรวมของมุมไปยังโพลที่ซับซ้อนจากโพลอื่น ๆ )-(ผลรวมของมุมไปยังโพลที่ซับซ้อนจากศูนย์)}

8. การตัดกันของแผนที่รากกับแกนจินตนาการ : เพื่อหาจุดตัดของแผนที่รากกับแกนจินตนาการ เราต้องใช้เกณฑ์ Routh Hurwitz ก่อน เราหาสมการเสริม จากนั้นค่า K ที่สอดคล้องจะให้ค่าของจุดตัด

9. ระยะขอบกำลัง : เราสามารถกำหนดระยะขอบกำลังโดยการคูณค่าการออกแบบของแฟคเตอร์กำลังก่อนที่ระบบจะไม่เสถียร ทางคณิตศาสตร์ มันถูกกำหนดโดยสูตร
   

10. ระยะขอบเฟส : ระยะขอบเฟสสามารถคำนวณได้จากสูตร:
    

11. ความสมมาตรของแผนที่ราก : แผนที่รากมีความสมมาตรรอบแกน x หรือแกนจริง

วิธีการกำหนดค่า K ที่จุดใด ๆ บนแผนที่ราก? ตอนนี้มีสองวิธีในการกำหนดค่า K ซึ่งวิธีแต่ละวิธีได้รับการอธิบายด้านล่าง

1. เกณฑ์ขนาด : ที่จุดใด ๆ บนแผนที่ราก เราสามารถใช้เกณฑ์ขนาดได้
   
   โดยใช้สูตรนี้ เราสามารถคำนวณค่า K ที่จุดใด ๆ ที่ต้องการได้

2. โดยใช้แผนที่ราก : ค่า K ที่ s ใด ๆ บนแผนที่รากถูกกำหนดโดย
   

แผนที่ราก

เทคนิคนี้ยังถูกเรียกว่าเทคนิคแผนที่รากในระบบควบคุมและใช้เพื่อกำหนดความเสถียรของระบบ ตอนนี้เพื่อกำหนดความเสถียรของระบบโดยใช้เทคนิคแผนที่ราก เราหาช่วงของค่า K ที่ประสิทธิภาพของระบบจะเป็นที่น่าพอใจและการทำงานมีความเสถียร
ตอนนี้มีผลลัพธ์บางประการที่ควรจำเพื่อวาดรูปแผนที่ราก ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการเขียนไว้ดังนี้:

1. บริเวณที่แผนที่รากมีอยู่ : หลังจากวาดโพลและศูนย์ทั้งหมดบนระนาบ เราสามารถหาบริเวณที่มีแผนที่รากได้ง่าย ๆ ด้วยกฎง่าย ๆ ที่เขียนไว้ดังนี้
   เฉพาะส่วนที่มีจำนวนโพลและศูนย์ที่อยู่ทางขวาของส่วนนั้นเป็นเลขคี่เท่านั้น จึงจะถูกพิจารณาในการสร้างแผนที่ราก

2. วิธีการคำนวณจำนวนแผนที่รากแยกกัน ? : จำนวนแผนที่รากแยกกันเท่ากับจำนวนรากทั้งหมดหากจำนวนรากมากกว่าจำนวนโพล หรือหากจำนวนรากมากกว่าจำนวนศูนย์ จำนวนแผนที่รากแยกกันเท่ากับจำนวนโพลทั้งหมด

ขั้นตอนในการวาดแผนที่ราก

เมื่อพิจารณาทุกข้อความนี้ เราสามารถวาดแผนที่รากสำหรับระบบใด ๆ ได้ ตอนนี้ขอหารือเกี่ยวกับขั้นตอนในการสร้างแผนที่ราก

1. หาโพลและศูนย์ทั้งหมดจากฟังก์ชันการถ่ายโอนวงจรเปิดแล้ววาดลงบนระนาบเชิงซ้อน

2. แผนที่รากทั้งหมดเริ่มต้นจากโพลเมื่อ k = 0 และสิ้นสุดที่ศูนย์เมื่อ K มีค่าใกล้เคียงอนันต์ จำนวนแขนที่สิ้นสุดที่อนันต์เท่ากับผลต่างระหว่างจำนวนโพลและจำนวนศูนย์ของ G(s)H(s)

3. หาบริเวณที่มีแผนที่รากจากการคำนวณค่า M และ N ตามวิธีที่อธิบายไว้

4. คำนวณจุดที่แตกหักและจุดที่แตกเข้าหากมี

5. วาดแอสซิมโทตและจุดเซนทรอยด์บนระนาบเชิงซ้อนสำหรับแผนที่รากโดยคำนวณความชันของแอสซิมโทต

6. ตอนนี้คำนวณมุมของการออกเดินทางและจุดตัดของแผนที่รากกับแกนจินตนาการ

7. ตอนนี้กำหนดค่า K โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ผมได้อธิบายไว้ข้างต้น

   โดยปฏิบัติตามขั้นตอนดังกล่าว คุณสามารถวาดแผนที่รากสำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนวงจรเปิดใด ๆ ได้อย่างง่ายดาย

8. คำนวณระยะขอบกำลัง

9. คำนวณระยะขอบเฟส

10. คุณสามารถแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความเสถียรของระบบโดยใช้ตาราง Routh