เทคนิคการวิเคราะห์วงจรควบคุมด้วยการวาดรูทโลคัส | การวาดรูทโลคัส
เทคนิคแผนที่รากในระบบควบคุมถูกนำเสนอครั้งแรกในปี 1948 โดย Evans ระบบทางกายภาพใด ๆ สามารถแทนได้ด้วยฟังก์ชันการถ่ายโอนในรูปแบบของ
เราสามารถหาโพลและศูนย์จาก G(s) ตำแหน่งของโพลและศูนย์มีความสำคัญในการพิจารณาความเสถียร ความเสถียรเชิงสัมพัทธ์ การตอบสนองชั่วขณะและการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด เมื่อระบบเริ่มทำงาน อิน덕แตนซ์และแคปาซิแตนซ์ที่ไม่ต้องการจะเข้ามาในระบบ ทำให้ตำแหน่งของโพลและศูนย์เปลี่ยนแปลง ในเทคนิคแผนที่รากในระบบควบคุม เราจะประเมินตำแหน่งของราก แนวเคลื่อนที่ของราก และข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ข้อมูลเหล่านี้จะถูกใช้เพื่อแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับประสิทธิภาพของระบบ
ก่อนที่ผมจะแนะนำว่าเทคนิคแผนที่รากคืออะไร มันเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะหารือเกี่ยวกับข้อดีบางประการของเทคนิคนี้เมื่อเทียบกับเกณฑ์ความเสถียรอื่น ๆ ข้อดีบางประการของเทคนิคแผนที่รากได้แก่
ข้อดีของเทคนิคแผนที่ราก
เทคนิคแผนที่รากในระบบควบคุมสามารถนำมาใช้งานได้ง่ายกว่าวิธีอื่น ๆ
โดยใช้แผนที่ราก เราสามารถทำนายประสิทธิภาพของระบบได้ง่าย
แผนที่รากให้วิธีที่ดีในการแสดงพารามิเตอร์
ตอนนี้มีคำศัพท์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเทคนิคแผนที่รากที่เราจะใช้บ่อย ๆ ในบทความนี้
สมการลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับเทคนิคแผนที่ราก : 1 + G(s)H(s) = 0 ถูกเรียกว่าสมการลักษณะเฉพาะ ตอนนี้เมื่อเราทำการหาอนุพันธ์ของสมการลักษณะเฉพาะและกำหนด dk/ds เท่ากับศูนย์ เราสามารถหาจุดที่แตกหักได้
จุดที่แตกหัก : สมมติว่ามีแผนที่รากสองเส้นที่เริ่มจากโพลแล้วเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม กระทบกันแล้วเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางที่แตกต่างกันอย่างสมมาตร หรือจุดที่แตกหักคือจุดที่รากหลาย ๆ รากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 เกิดขึ้น ค่า K จะสูงสุดที่จุดที่แขนของแผนที่รากแตกหัก จุดที่แตกหักอาจเป็นจริง จินตนาการ หรือซับซ้อน
จุดที่แตกเข้า : เงื่อนไขสำหรับจุดที่แตกเข้าบนแผนที่ถูกเขียนไว้ดังนี้ :
แผนที่รากต้องมีระหว่างศูนย์สองศูนย์ที่อยู่ติดกันบนแกนจริง
.
ศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง : มันยังถูกเรียกว่าเซนทรอยด์และถูกกำหนดให้เป็นจุดบนแผนที่ที่แอสซิมโทตเริ่มต้น ทางคณิตศาสตร์ มันถูกคำนวณโดยผลต่างของผลรวมของโพลและศูนย์ในฟังก์ชันการถ่ายโอนเมื่อหารด้วยผลต่างของจำนวนโพลทั้งหมดและจำนวนศูนย์ทั้งหมด ศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงมักจะเป็นจริงและถูกแทนด้วย σA.
เมื่อ N คือจำนวนโพลและ M คือจำนวนศูนย์แอสซิมโทตของแผนที่ราก : แอสซิมโทตเริ่มต้นจากศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงหรือเซนทรอยด์และไปสู่อนันต์ที่มุมแน่นอน แอสซิมโทตให้ทิศทางแก่แผนที่รากเมื่อมันออกจากจุดที่แตกหัก
มุมของแอสซิมโทต : แอสซิมโทตทำมุมกับแกนจริงและมุมนี้สามารถคำนวณได้จากสูตรที่กำหนดให้
เมื่อ p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N คือจำนวนโพลทั้งหมด
M คือจำนวนศูนย์ทั้งหมดมุมของการออกเดินทางหรือมุมของการเข้าถึง : เราคำนวณมุมของการออกเดินทางเมื่อมีโพลที่ซับซ้อนในระบบ มุมของการออกเดินทางสามารถคำนวณได้เป็น 180-{(ผลรวมของมุมไปยังโพลที่ซับซ้อนจากโพลอื่น ๆ )-(ผลรวมของมุมไปยังโพลที่ซับซ้อนจากศูนย์)}
การตัดกันของแผนที่รากกับแกนจินตนาการ : เพื่อหาจุดตัดของแผนที่รากกับแกนจินตนาการ เราต้องใช้เกณฑ์ Routh Hurwitz ก่อน เราหาสมการเสริม จากนั้นค่า K ที่สอดคล้องจะให้ค่าของจุดตัด
ระยะขอบกำลัง : เราสามารถกำหนดระยะขอบกำลังโดยการคูณค่าการออกแบบของแฟคเตอร์กำลังก่อนที่ระบบจะไม่เสถียร ทางคณิตศาสตร์ มันถูกกำหนดโดยสูตร
ระยะขอบเฟส : ระยะขอบเฟสสามารถคำนวณได้จากสูตร:
ความสมมาตรของแผนที่ราก : แผนที่รากมีความสมมาตรรอบแกน x หรือแกนจริง
วิธีการกำหนดค่า K ที่จุดใด ๆ บนแผนที่ราก? ตอนนี้มีสองวิธีในการกำหนดค่า K ซึ่งวิธีแต่ละวิธีได้รับการอธิบายด้านล่าง
เกณฑ์ขนาด : ที่จุดใด ๆ บนแผนที่ราก เราสามารถใช้เกณฑ์ขนาดได้
โดยใช้สูตรนี้ เราสามารถคำนวณค่า K ที่จุดใด ๆ ที่ต้องการได้โดยใช้แผนที่ราก : ค่า K ที่ s ใด ๆ บนแผนที่รากถูกกำหนดโดย
แผนที่ราก
เทคนิคนี้ยังถูกเรียกว่าเทคนิคแผนที่รากในระบบควบคุมและใช้เพื่อกำหนดความเสถียรของระบบ ตอนนี้เพื่อกำหนดความเสถียรของระบบโดยใช้เทคนิคแผนที่ราก เราหาช่วงของค่า K ที่ประสิทธิภาพของระบบจะเป็นที่น่าพอใจและการทำงานมีความเสถียร
ตอนนี้มีผลลัพธ์บางประการที่ควรจำเพื่อวาดรูปแผนที่ราก ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการเขียนไว้ดังนี้:
บริเวณที่แผนที่รากมีอยู่ : หลังจากวาดโพลและศูนย์ทั้งหมดบนระนาบ เราสามารถหาบริเวณที่มีแผนที่รากได้ง่าย ๆ ด้วยกฎง่าย ๆ ที่เขียนไว้ดังนี้
เฉพาะส่วนที่มีจำนวนโพลและศูนย์ที่อยู่ทางขวาของส่วนนั้นเป็นเลขคี่เท่านั้น จึงจะถูกพิจารณาในการสร้างแผนที่รากวิธีการคำนวณจำนวนแผนที่รากแยกกัน ? : จำนวนแผนที่รากแยกกันเท่ากับจำนวนรากทั้งหมดหากจำนวนรากมากกว่าจำนวนโพล หรือหากจำนวนรากมากกว่าจำนวนศูนย์ จำนวนแผนที่รากแยกกันเท่ากับจำนวนโพลทั้งหมด
ขั้นตอนในการวาดแผนที่ราก
เมื่อพิจารณาทุกข้อความนี้ เราสามารถวาดแผนที่รากสำหรับระบบใด ๆ ได้ ตอนนี้ขอหารือเกี่ยวกับขั้นตอนในการสร้างแผนที่ราก
หาโพลและศูนย์ทั้งหมดจากฟังก์ชันการถ่ายโอนวงจรเปิดแล้ววาดลงบนระนาบเชิงซ้อน
แผนที่รากทั้งหมดเริ่มต้นจากโพลเมื่อ k = 0 และสิ้นสุดที่ศูนย์เมื่อ K มีค่าใกล้เคียงอนันต์ จำนวนแขนที่สิ้นสุดที่อนันต์เท่ากับผลต่างระหว่างจำนวนโพลและจำนวนศูนย์ของ G(s)H(s)
หาบริเวณที่มีแผนที่รากจากการคำนวณค่า M และ N ตามวิธีที่อธิบายไว้
คำนวณจุดที่แตกหักและจุดที่แตกเข้าหากมี
วาดแอสซิมโทตและจุดเซนทรอยด์บนระนาบเชิงซ้อนสำหรับแผนที่รากโดยคำนวณความชันของแอสซิมโทต
ตอนนี้คำนวณมุมของการออกเดินทางและจุดตัดของแผนที่รากกับแกนจินตนาการ
ตอนนี้กำหนดค่า K โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ผมได้อธิบายไว้ข้างต้น
โดยปฏิบัติตามขั้นตอนดังกล่าว คุณสามารถวาดแผนที่รากสำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนวงจรเปิดใด ๆ ได้อย่างง่ายดาย
คำนวณระยะขอบกำลัง
คำนวณระยะขอบเฟส
คุณสามารถแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความเสถียรของระบบโดยใช้ตาราง Routh
