Tecnica del Locus delle Radici nel Sistema di Controllo | Grafico del Locus delle Radici

La tecnica del luogo delle radici nel sistema di controllo fu introdotta per la prima volta nel 1948 da Evans. Ogni sistema fisico è rappresentato da una funzione di trasferimento nella forma di

Possiamo trovare poli e zeri da G(s). La posizione dei poli e degli zeri è cruciale per la stabilità, la stabilità relativa, la risposta transitoria e l'analisi dell'errore. Quando il sistema viene messo in servizio, induttanze e capacità vaganti entrano nel sistema, cambiando così la posizione dei poli e degli zeri. Nella tecnica del luogo delle radici nel sistema di controllo valuteremo la posizione delle radici, il loro percorso e le informazioni associate. Queste informazioni saranno utilizzate per commentare sulle prestazioni del sistema.
Ora, prima di introdurre cosa sia la tecnica del luogo delle radici, è essenziale discutere alcuni dei vantaggi di questa tecnica rispetto ad altri criteri di stabilità. Alcuni dei vantaggi della tecnica del luogo delle radici sono elencati di seguito.

Vantaggi della Tecnica del Luogo delle Radici

1. La tecnica del luogo delle radici nel sistema di controllo è più facile da implementare rispetto ad altri metodi.

2. Con l'aiuto del luogo delle radici possiamo facilmente prevedere le prestazioni dell'intero sistema.

3. Il luogo delle radici fornisce un modo migliore per indicare i parametri.

Ora ci sono vari termini relativi alla tecnica del luogo delle radici che utilizzeremo frequentemente in questo articolo.

1. Equazione Caratteristica Relativa alla Tecnica del Luogo delle Radici : 1 + G(s)H(s) = 0 è nota come equazione caratteristica. Ora, differenziando l'equazione caratteristica e ponendo dk/ds uguale a zero, possiamo ottenere i punti di separazione.

2. Punti di Separazione : Supponiamo che due luoghi delle radici, che partono da un polo e si muovono in direzioni opposte, collidano tra loro in modo tale che, dopo la collisione, iniziano a muoversi in diverse direzioni in modo simmetrico. Oppure i punti di separazione in cui si verificano radici multiple dell'equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Il valore di K è massimo nei punti in cui i rami del luogo delle radici si separano. I punti di separazione possono essere reali, immaginari o complessi.

3. Punti di Ingresso : La condizione per avere un punto di ingresso sul grafico è la seguente : Il luogo delle radici deve essere presente tra due zeri adiacenti sull'asse reale.

4. Centro di Gravità : È anche noto come centroide ed è definito come il punto sul grafico da cui partono tutte le asintoti. Matematicamente, è calcolato dalla differenza tra la somma dei poli e degli zeri nella funzione di trasferimento, divisa per la differenza tra il numero totale di poli e il numero totale di zeri. Il centro di gravità è sempre reale ed è denotato da σA.
   
   Dove, N è il numero di poli e M è il numero di zeri.

5. Asintoti del Luogo delle Radici : Gli asintoti originano dal centro di gravità o dal centroide e vanno all'infinito a un angolo definito. Gli asintoti forniscono la direzione al luogo delle radici quando si allontanano dai punti di separazione.

6. Angolo degli Asintoti : Gli asintoti formano un angolo con l'asse reale e questo angolo può essere calcolato dalla formula seguente,
   
   Dove, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N è il numero totale di poli
   M è il numero totale di zeri.

7. Angolo di Arrivo o Partenza : Calcoliamo l'angolo di partenza quando esistono poli complessi nel sistema. L'angolo di partenza può essere calcolato come 180-{(somma degli angoli a un polo complesso dagli altri poli)-(somma degli angoli a un polo complesso dagli zeri)}.

8. Intersezione del Luogo delle Radici con l'Asse Immaginario : Per trovare il punto di intersezione del luogo delle radici con l'asse immaginario, dobbiamo utilizzare il criterio di Routh-Hurwitz. Prima, troviamo l'equazione ausiliaria, quindi il valore corrispondente di K darà il valore del punto di intersezione.

9. Margine di Guadagno : Definiamo il margine di guadagno come il fattore per cui il valore di progettazione del fattore di guadagno può essere moltiplicato prima che il sistema diventi instabile. Matematicamente, è dato dalla formula
   

10. Margine di Fase : Il margine di fase può essere calcolato dalla formula seguente:
    

11. Simmetria del Luogo delle Radici : Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all'asse x o all'asse reale.

Come determinare il valore di K in qualsiasi punto del luogo delle radici? Ora ci sono due modi per determinare il valore di K, ciascuno descritto di seguito.

1. Criterio di Magnitudine : In qualsiasi punto del luogo delle radici possiamo applicare il criterio di magnitudine come,
   
   Utilizzando questa formula, possiamo calcolare il valore di K in qualsiasi punto desiderato.

2. Utilizzando il Grafico del Luogo delle Radici : Il valore di K in qualsiasi s del luogo delle radici è dato da
   

Grafico del Luogo delle Radici

Questo è noto anche come tecnica del luogo delle radici nel sistema di controllo ed è utilizzato per determinare la stabilità del sistema dato. Ora, per determinare la stabilità del sistema utilizzando la tecnica del luogo delle radici, troviamo l'intervallo di valori di K per cui le prestazioni complete del sistema saranno soddisfacenti e l'operazione sarà stabile.
Ora ci sono alcuni risultati che uno dovrebbe ricordare per tracciare il luogo delle radici. Questi risultati sono elencati di seguito:

1. Regione in cui esiste il luogo delle radici : Dopo aver tracciato tutti i poli e gli zeri sul piano, possiamo facilmente trovare la regione di esistenza del luogo delle radici utilizzando una semplice regola, che è scritta di seguito,
   Solo quel segmento sarà considerato nella costruzione del luogo delle radici se il numero totale di poli e zeri a destra del segmento è dispari.

2. Come calcolare il numero di luoghi delle radici separati ? : Il numero di luoghi delle radici separati è uguale al numero totale di radici se il numero di radici è maggiore del numero di poli, altrimenti il numero di luoghi delle radici separati è uguale al numero totale di poli se il numero di radici è maggiore del numero di zeri.

Procedura per Tracciare il Luogo delle Radici

Tenendo presenti tutti questi punti, siamo in grado di disegnare il grafico del luogo delle radici per qualsiasi tipo di sistema. Ora discutiamo la procedura per creare un luogo delle radici.

1. Trova tutti i poli e gli zeri dalla funzione di trasferimento a loop aperto e poi tracciali sul piano complesso.

2. Tutti i luoghi delle radici iniziano dai poli dove k = 0 e terminano negli zeri dove K tende all'infinito. Il numero di rami che terminano all'infinito è uguale alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri di G(s)H(s).

3. Trova la regione di esistenza del luogo delle radici con il metodo descritto sopra dopo aver trovato i valori di M e N.

4. Calcola i punti di separazione e i punti di ingresso, se presenti.

5. Disegna gli asintoti e il punto centrale sul piano complesso per il luogo delle radici, calcolando la pendenza degli asintoti.

6. Ora calcola l'angolo di partenza e l'intersezione del luogo delle radici con l'asse immaginario.

7. Ora determina il valore di K utilizzando uno dei metodi che ho descritto sopra.

   Seguendo la procedura sopra, puoi facilmente disegnare il grafico del luogo delle radici per qualsiasi funzione di trasferimento a loop aperto.

8. Calcola il margine di guadagno.

9. Calcola il margine di fase.

10. Puoi facilmente commentare sulla stabilità del sistema utilizzando la tabella di Routh.

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