Teknik Root Locus sa System ng Control | Root Locus Plot

Ang teknikang root locus sa sistema ng kontrol ay unang ipinakilala noong taong 1948 ni Evans. Ang anumang pisikal na sistema ay kinakatawan ng isang transfer function sa anyo ng

Maaari nating makuha ang mga poles at zeros mula sa G(s). Ang lokasyon ng mga poles at zeros ay mahalaga sa pagtingin sa estabilidad, relasyon ng estabilidad, transient response at analisis ng error. Kapag inilapat ang sistema, ang stray inductance at capacitance ay pumasok sa sistema, kaya nagbabago ang lokasyon ng mga poles at zeros. Sa teknikang root locus sa sistema ng kontrol, ievaluate natin ang posisyon ng mga roots, ang kanilang locus of movement at kaugnay na impormasyon. Ang mga impormasyong ito ay gagamitin upang magbigay ng komento tungkol sa performance ng sistema.
Ngayon bago ko ipakilala kung ano ang teknikang root locus, napakahalaga rito na pag-usapan ang ilang mga benepisyong mayroon ang teknikang ito sa iba pang stability criteria. Ilang mga benepisyong mayroon ang teknikang root locus ay nakasulat sa ibaba.

Mga Benepisyo ng Teknikang Root Locus

1. Ang teknikang root locus sa sistema ng kontrol ay madali implementarin kumpara sa iba pang mga paraan.

2. Sa tulong ng root locus, maaari nating madaling iprognostika ang performance ng buong sistema.

3. Ang root locus ay nagbibigay ng mas mahusay na paraan upang ipakita ang mga parameter.

Mayroon pa tayong iba't ibang termino na may kaugnayan sa teknikang root locus na gagamitin natin sa madalas sa artikulong ito.

1. Characteristic Equation Related to Root Locus Technique : 1 + G(s)H(s) = 0 ay kilala bilang characteristic equation. Ngayon, kapag dinifferentiate natin ang characteristic equation at pinagsama ang dk/ds equals to zero, maaari nating makuha ang break away points.

2. Break away Points : Kapag dalawang root loci na nagsimula mula sa pole at lumilipad sa kabaligtarang direksyon ay sumabog sa isa't isa, kaya pagkatapos ng collision, sila ay nagsisimula lumipad sa iba't ibang direksyon sa simetrikong paraan. O ang breakaway points kung saan ang multiple roots ng characteristic equation 1 + G(s)H(s) = 0 ay nangyayari. Ang halaga ng K ay maximum sa mga puntos kung saan ang mga sangay ng root loci ay sumabog. Ang mga break away points ay maaaring real, imaginary o complex.

3. Break in Point : Ang kondisyon ng break in upang maging narito sa plot ay nakasulat sa ibaba : Ang root locus ay dapat naroon sa pagitan ng dalawang adjacent zeros sa real axis.

4. Centre of Gravity : Ito rin ay kilala bilang centroid at ito ay inilalarawan bilang ang punto sa plot kung saan lahat ng asymptotes ay nagsisimula. Matematikal, ito ay inaasahang maipapakita sa pamamagitan ng pagkakaiba ng summation ng mga poles at zeros sa transfer function kapag hinati sa pagkakaiba ng kabuuang bilang ng mga poles at kabuuang bilang ng mga zeros. Ang centre of gravity ay laging real at ito ay inilalarawan ng σA.
   
   Kung saan, N ay bilang ng mga poles at M ay bilang ng mga zeros.

5. Asymptotes of Root Loci : Ang asymptote ay nagsisimula mula sa center of gravity o centroid at tumutungo sa infinity sa tiyak na anggulo. Ang mga asymptotes ay nagbibigay ng direksyon sa root locus kapag sila ay umalis mula sa break away points.

6. Angle of Asymptotes : Ang asymptotes ay gumagawa ng tiyak na anggulo sa real axis at ang anggulong ito ay maaaring makalkula mula sa binigay na formula,
   
   Kung saan, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N ay ang kabuuang bilang ng mga poles
   M ay ang kabuuang bilang ng mga zeros.

7. Angle of Arrival or Departure : Inaasahang makalkula natin ang angle of departure kapag mayroong complex poles sa sistema. Ang angle of departure ay maaaring makalkula bilang 180-{(sum ng mga anggulo sa isang complex pole mula sa iba pang poles)-(sum ng anggulo sa isang complex pole mula sa zeros)}.

8. Intersection of Root Locus with the Imaginary Axis : Upang mahanap ang punto ng intersection ng root locus sa imaginary axis, kailangan nating gamitin ang Routh Hurwitz criterion. Una, hahanapin natin ang auxiliary equation, pagkatapos, ang kaukulang halaga ng K ay magbibigay ng halaga ng punto ng intersection.

9. Gain Margin : Inilalarawan natin ang gain margin bilang ang design value ng gain factor kung saan maaaring imultiply bago ang sistema maging unstable. Matematikal, ito ay ibinibigay sa pamamagitan ng formula
   

10. Phase Margin : Maaaring makalkula ang phase margin mula sa binigay na formula:
    

11. Symmetry of Root Locus : Ang root locus ay symmetric sa x axis o sa real axis.

Paano matukoy ang halaga ng K sa anumang punto sa root loci? Ngayon, mayroon tayong dalawang paraan ng pagtukoy sa halaga ng K, bawat paraan ay inilarawan sa ibaba.

1. Magnitude Criteria : Sa anumang puntos sa root locus, maaari nating ilapat ang magnitude criteria bilang,
   
   Gamit ang formula na ito, maaari nating makalkula ang halaga ng K sa anumang desired point.

2. Using Root Locus Plot : Ang halaga ng K sa anumang s sa root locus ay ibinibigay ng
   

Root Locus Plot

Ito rin ay kilala bilang teknikang root locus sa sistema ng kontrol at ginagamit ito upang matukoy ang estabilidad ng ibinigay na sistema. Ngayon, upang matukoy ang estabilidad ng sistema gamit ang teknikang root locus, hahanapin natin ang range ng mga halaga ng K kung saan ang buong performance ng sistema ay satisaktoryo at ang operasyon ay stable.
Ngayon, mayroon tayong ilang resulta na dapat tandaan upang magplot ng root locus. Ang mga resultang ito ay nakasulat sa ibaba:

1. Rehiyon kung saan umiiral ang root locus : Pagkatapos magplot ng lahat ng poles at zeros sa plane, maaari nating madaling mahanap ang rehiyon ng umiiral ng root locus sa pamamagitan ng isang simple rule na nakasulat sa ibaba,
   Kunin lamang ang segment na ito sa paggawa ng root locus kung ang kabuuang bilang ng poles at zeros sa kanan ng segment ay odd.

2. Paano kalkulahin ang bilang ng hiwalay na root loci ? : Ang bilang ng hiwalay na root loci ay katumbas ng kabuuang bilang ng roots kung ang bilang ng roots ay mas malaki kaysa sa bilang ng poles, kundi, ang bilang ng hiwalay na root loci ay katumbas ng kabuuang bilang ng poles kung ang bilang ng roots ay mas malaki kaysa sa bilang ng zeros.

Prosedurang Pag-plot ng Root Locus

Kapag naisip natin ang lahat ng mga punto na ito, maaari nating gawin ang root locus plot para sa anumang uri ng sistema. Ngayon, ipag-usapan natin ang prosedura ng paggawa ng root locus.

1. Hahanapin natin ang lahat ng mga roots at poles mula sa open loop transfer function at pagkatapos ay magplot sila sa complex plane.

2. Ang lahat ng root loci ay nagsisimula mula sa poles kung saan k = 0 at natatapos sa zeros kung saan K ay patungo sa infinity. Ang bilang ng mga sangay na natatapos sa infinity ay katumbas ng pagkakaiba ng bilang ng poles at bilang ng zeros ng G(s)H(s).

3. Hanapin ang rehiyon ng umiiral ng root loci mula sa paraan na inilarawan sa itaas pagkatapos mahanap ang mga halaga ng M at N.

4. Kalkulahin ang break away points at break in points kung mayroon.

5. Magplot ng asymptotes at centroid point sa complex plane para sa root loci sa pamamagitan ng pagkalkula ng slope ng asymptotes.

6. Ngayon, kalkulahin ang angle of departure at ang intersection ng root loci sa imaginary axis.

7. Ngayon, tukuyin ang halaga ng K sa pamamagitan ng anumang paraan na inilarawan ko sa itaas.

   Sa pamamagitan ng pag-follow ng prosedurang ito, maaari kang madaling gumawa ng root locus plot para sa anumang open loop transfer function.

8. Kalkulahin ang gain margin.

9. Kalkulahin ang phase margin.

10. Maaari kang madaling magbigay ng komento tungkol sa estabilidad ng sistema sa pamamagitan ng Routh Array.

Pahayag: Respetuhin ang orihinal, mahusay na mga artikulo na karapat-dapat na ibahagi, kung may infringement pakiusap lumapit upang tanggalin.