Teknik Root Locus sa Sistema ng Kontrol | Plot ng Root Locus

Ang teknik ng root locus sa sistema ng kontrol ay unang ipinakilala noong taong 1948 ni Evans. Anumang pisikal na sistema ay kinakatawan ng isang transfer function sa anyo ng

Maaari nating mahanap ang mga poles at zeros mula sa G(s). Ang lokasyon ng mga poles at zeros ay mahalaga sa pagtingin sa estabilidad, relatibong estabilidad, transient response, at pag-aanalisa ng error. Kapag ginamit ang sistema, ang mga stray inductance at capacitance ay pumapasok sa sistema, kaya nagbabago ang lokasyon ng mga poles at zeros. Sa teknik ng root locus sa sistema ng kontrol, ievaluate natin ang posisyon ng mga roots, ang kanilang locus ng paggalaw, at ang kasamang impormasyon. Ang mga impormasyong ito ay gagamitin upang magbigay ng komento tungkol sa performance ng sistema.
Ngayon bago ko ipakilala kung ano ang teknik ng root locus, napakahalaga dito na talakayin ang ilang mga abantehe ng teknik na ito sa ibang stability criteria. Ilang mga abantehe ng teknik ng root locus ay nakasulat sa ibaba.

Mga Abantehe ng Teknik ng Root Locus

1. Ang teknik ng root locus sa sistema ng kontrol ay madali na i-implement kumpara sa ibang mga paraan.

2. Sa tulong ng root locus, maaari nating madaling iprognostika ang performance ng buong sistema.

3. Ang root locus ay nagbibigay ng mas mahusay na paraan upang ipakita ang mga parameter.

Mayroon pa tayong iba't ibang termino na may kaugnayan sa teknik ng root locus na gagamitin natin sa karaniwang paggamit sa artikulong ito.

1. Characteristic Equation Related to Root Locus Technique : 1 + G(s)H(s) = 0 ay kilala bilang characteristic equation. Ngayon, kapag in-differentiate natin ang characteristic equation at pinaghawi-hawi ang dk/ds na katumbas ng zero, maaari nating makuhang break away points.

2. Break away Points : Kapag dalawang root loci na nagsisimula mula sa pole at gumagalaw sa kabaligtarang direksyon ay nagkakadirekta, kaya pagkatapos ng collision, sila ay nagsisimula maggalaw sa iba't ibang direksyon sa simetriyal na paraan. O ang breakaway points kung saan ang multiple roots ng characteristic equation 1 + G(s)H(s) = 0 ay nangyayari. Ang halaga ng K ay maximum sa mga puntos kung saan ang mga sangay ng root loci ay nag-break away. Ang mga breakaway points ay maaaring real, imaginary, o complex.

3. Break in Point : Ang kondisyon para may break in sa plot ay isinusulat sa ibaba : Ang root locus ay dapat umiral sa pagitan ng dalawang adjacent zeros sa real axis.

4. Centre of Gravity : Ito rin ay kilala bilang centroid at ito ay inilalarawan bilang ang punto sa plot kung saan lahat ng asymptotes ay nagsisimula. Matematikal, ito ay inaasahang makuha sa pamamagitan ng pagkakaiba ng sum ng mga poles at zeros sa transfer function kapag hinati ng pagkakaiba ng kabuuang bilang ng mga poles at kabuuang bilang ng mga zeros. Ang centre of gravity ay palaging real at ito ay dinisenyo bilang σA.
   
   Kung saan, N ang bilang ng mga poles at M ang bilang ng mga zeros.

5. Asymptotes of Root Loci : Ang asymptote ay nagsisimula mula sa sentro ng gravity o centroid at lumiliko hanggang infinity sa tiyak na anggulo. Ang asymptotes ay nagbibigay ng direksyon sa root locus kapag sila ay lumiliko sa break away points.

6. Angle of Asymptotes : Ang asymptotes ay gumawa ng ilang anggulo sa real axis at ang anggulong ito ay maaaring makalkula mula sa ibinigay na formula,
   
   Kung saan, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N ang kabuuang bilang ng mga poles
   M ang kabuuang bilang ng mga zeros.

7. Angle of Arrival or Departure : Kinalkula natin ang angle of departure kapag may complex poles sa sistema. Ang angle of departure ay maaaring makalkula bilang 180-{(sum ng mga anggulo sa isang complex pole mula sa ibang poles)-(sum ng anggulo sa isang complex pole mula sa mga zeros)}.

8. Intersection of Root Locus with the Imaginary Axis : Upang mahanap ang punto ng intersection ng root locus sa imaginary axis, kailangan nating gamitin ang Routh Hurwitz criterion. Una, hahanapin natin ang auxiliary equation at ang kaukop na halaga ng K ay magbibigay ng halaga ng punto ng intersection.

9. Gain Margin : Inilalarawan natin ang gain margin bilang ang halaga ng design value ng gain factor na maaaring imultiply bago ang sistema maging unstable. Matematikal, ito ay ibinibigay ng formula
   

10. Phase Margin : Ang phase margin ay maaaring makalkula mula sa ibinigay na formula:
    

11. Symmetry of Root Locus : Ang root locus ay symmetric sa x axis o sa real axis.

Paano matukoy ang halaga ng K sa anumang punto sa root loci? Ngayon, may dalawang paraan ng pagtukoy ng halaga ng K, bawat paraan ay inilarawan sa ibaba.

1. Magnitude Criteria : Sa anumang puntos sa root locus, maaari nating i-apply ang magnitude criteria bilang,
   
   Gamit ang formula na ito, maaari nating makalkula ang halaga ng K sa anumang desired point.

2. Using Root Locus Plot : Ang halaga ng K sa anumang s sa root locus ay ibinibigay ng
   

Root Locus Plot

Ito rin ay kilala bilang teknik ng root locus sa sistema ng kontrol at ginagamit para sa pagtukoy sa estabilidad ng ibinigay na sistema. Ngayon, upang matukoy ang estabilidad ng sistema gamit ang teknik ng root locus, hahanapin natin ang range ng mga halaga ng K kung saan ang buong performance ng sistema ay sapat at ang operasyon ay stable.
Ngayon, mayroon tayong ilang resulta na dapat tandaan upang mag-plot ng root locus. Ang mga resulta na ito ay nakasulat sa ibaba:

1. Rehiyon kung saan umiiral ang root locus : Pagkatapos ma-plot ang lahat ng poles at zeros sa plane, maaari nating madaling mahanap ang rehiyon ng umiiral ng root locus sa pamamagitan ng isang simple na rule na isinusulat sa ibaba,
   Kunin lamang ang segment na ito sa paggawa ng root locus kung ang kabuuang bilang ng poles at zeros sa kanan ng segment ay odd.

2. Paano kalkulahin ang bilang ng hiwalay na root loci ? : Ang bilang ng hiwalay na root loci ay katumbas ng kabuuang bilang ng roots kung ang bilang ng roots ay mas malaki kaysa sa bilang ng poles, kundi ang bilang ng hiwalay na root loci ay katumbas ng kabuuang bilang ng poles kung ang bilang ng roots ay mas malaki kaysa sa bilang ng zeros.

Prosedur para Mag-Plot ng Root Locus

Tinatakan natin lahat ng mga punto na ito, maaari tayong mag-plot ng root locus plot para sa anumang uri ng sistema. Ngayon, ipag-usap natin ang prosedur ng paggawa ng root locus.

1. Hanapin ang lahat ng mga roots at poles mula sa open loop transfer function at pagkatapos ay i-plot sila sa complex plane.

2. Ang lahat ng root loci ay nagsisimula mula sa poles kung saan k = 0 at natatapos sa zeros kung saan K ay tumutungo sa infinity. Ang bilang ng sangay na natatapos sa infinity ay katumbas ng pagkakaiba ng bilang ng poles at bilang ng zeros ng G(s)H(s).

3. Hanapin ang rehiyon ng umiiral ng root loci mula sa paraan na inilarawan sa itaas pagkatapos makuhang halaga ng M at N.

4. Kalkulahin ang break away points at break in points kung mayroon.

5. I-plot ang asymptotes at centroid point sa complex plane para sa root loci sa pamamagitan ng pagkalkula ng slope ng asymptotes.

6. Ngayon, kalkulahin ang angle of departure at ang intersection ng root loci sa imaginary axis.

7. Ngayon, tukuyin ang halaga ng K sa pamamagitan ng anumang isa sa paraan na inilarawan ko sa itaas.

   Sa pamamagitan ng pag-follow sa prosedur na ito, maaari kang madaling mag-plot ng root locus plot para sa anumang open loop transfer function.

8. Kalkulahin ang gain margin.

9. Kalkulahin ang phase margin.

10. Maaari kang madaling magbigay ng komento tungkol sa estabilidad ng sistema sa pamamagitan ng Routh Array.

Pahayag: Respeto sa original, mabubuti na mga artikulo na karapat-dapat na ibahagi, kung may paglabag sa copyright pakiusap ilipat sa delete.