制御システムにおけるルートロカステクニック | ルートロカス図
制御システムにおける根軌跡法は、1948年にEvansによって初めて導入されました。任意の物理系は、次の形式の伝達関数で表されます
G(s)から極と零点を見つけることができます。極と零点の位置は、安定性、相対安定性、過渡応答、および誤差解析の観点から重要です。システムが使用されるとき、ストレイインダクタンスやキャパシタンスがシステムに混入し、極と零点の位置が変化します。制御システムにおける根軌跡法では、根の位置、その移動の軌跡、および関連情報について評価します。これらの情報は、システムの性能を評価するために使用されます。
ここで、根軌跡法とは何かを紹介する前に、この手法が他の安定性基準よりも優れているいくつかの利点について説明することが非常に重要です。根軌跡法の一部の利点は以下の通りです。
根軌跡法の利点
制御システムにおける根軌跡法は、他の方法と比較して実装が容易です。
根軌跡を使用することで、システム全体の性能を簡単に予測することができます。
根軌跡は、パラメータを示すためのより良い方法を提供します。
ここでは、根軌跡法に関連する様々な用語を頻繁に使用します。
根軌跡法に関連する特性方程式： 1 + G(s)H(s) = 0 は特性方程式として知られています。この特性方程式を微分し、dk/ds をゼロに等しくすることで、ブレークアウェイ点を得ることができます。
ブレークアウェイ点： ポールから始まり反対方向に移動する2つの根軌跡が衝突し、衝突後異なる方向に対称的に移動し始める場合、または特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0 の多重根が発生するブレークアウェイ点。K の値は、根軌跡の枝がブレークアウェイする点で最大になります。ブレークアウェイ点は実数、虚数、または複素数である可能性があります。
ブレークイン点： プロット上にブレークインがある条件は以下の通りです :
根軌跡は実軸上の2つの隣接する零点の間に存在しなければならない
。
重心 : これはまたセントロイドとも呼ばれ、すべての漸近線が始まるプロット上の点として定義されます。数学的には、伝達関数内の極と零点の総和の差を、極の総数と零点の総数の差で割ることで計算されます。重心は常に実数であり、σAで表されます。
ここで、N は極の数、M は零点の数です。根軌跡の漸近線 : 漸近線は重心またはセントロイドから始まり、特定の角度で無限大に向かって進みます。漸近線は、ブレークアウェイ点から離れる際に根軌跡の方向を提供します。
漸近線の角度 : 漸近線は実軸に対して一定の角度を作り、この角度は以下の式で計算できます。
ここで、p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N は極の総数
M は零点の総数です。到着角または出発角 : システムに複素極が存在する場合、出発角を計算します。出発角は 180-{(他の極からの複素極への角度の合計)-(ゼロからの複素極への角度の合計)} で計算できます。
根軌跡と虚軸との交点 : 根軌跡と虚軸との交点を求めるには、Routh-Hurwitz 基準を使用する必要があります。まず補助方程式を見つけ、それに対応する K の値が交点の値を与えます。
ゲインマージン : 設計値のゲイン係数を何倍まで増加させてもシステムが不安定にならないように定義します。数学的には以下の式で与えられます。
位相マージン : 位相マージンは以下の式で計算できます。
根軌跡の対称性 : 根軌跡は x 軸または実軸について対称です。
根軌跡上の任意の点での K の値をどのように決定するか？K の値を決定するには2つの方法があり、それぞれの方法は以下に記述されています。
振幅基準 : 根軌跡上の任意の点で振幅基準を適用できます。
この式を使用して、任意の所望の点での K の値を計算できます。根軌跡図を使用 : 根軌跡上の任意の s での K の値は以下の式で与えられます。
根軌跡図
これはまた制御システムにおける根軌跡法とも呼ばれ、与えられたシステムの安定性を決定するために使用されます。現在、根軌跡法を使用してシステムの安定性を決定するためには、システムの完全な性能が満足いくものであり、操作が安定する K の範囲を見つける必要があります。
ここで、根軌跡を描画するために覚えておくべきいくつかの結果があります。これらの結果は以下の通りです。
根軌跡が存在する領域 : 全ての極と零点を平面にプロットした後、以下の単純なルールを使用して根軌跡の存在領域を見つけることができます。
セグメントの右側にある極と零点の総数が奇数である場合のみ、そのセグメントは根軌跡を作るのに考慮されます。根軌跡の数をどのように計算するか ? : 根軌跡の数は、極の数よりも零点の数が多い場合は、零点の総数と同じになります。逆に、零点の数よりも極の数が多い場合は、根軌跡の数は極の総数と同じになります。
根軌跡を描く手順
これらの点を念頭に置いて、任意の種類のシステムの根軌跡図を描くことができます。ここでは、根軌跡を作成する手順について説明します。
開ループ伝達関数から全ての根と極を見つけ、それらを複素平面上にプロットします。
全ての根軌跡は k = 0 の極から始まり、k が無限大に近づく零点で終了します。無限大に向かう枝の数は、G(s)H(s) の極と零点の数の差に等しいです。
上記の方法で M と N の値を見つけた後、根軌跡の存在領域を見つけてください。
ブレークアウェイ点とブレークイン点（ある場合）を計算します。
漸近線の傾きを計算して、複素平面上に漸近線と重心点をプロットします。
出発角と根軌跡と虚軸との交点を計算します。
上記で説明したいずれかの方法を使用して K の値を決定します。
上記の手順に従うことで、任意の開ループ伝達関数の根軌跡図を簡単に描くことができます。
ゲインマージンを計算します。
位相マージンを計算します。
Routh 配列を使用して、システムの安定性について簡単にコメントすることができます。
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