Техника на кореновия локус в управляващата система | Графика на кореновия локус

Техниката на кореновата локуса в системите за управление беше представена за първи път през 1948 година от Evans. Всяка физическа система се представя чрез преносна функция във формата на

Можем да намерим полюси и нули от G(s). Местоположението на полюсите и нулите е критично за стабилността, относителната стабилност, преходния отговор и анализ на грешката. Когато системата е в употреба, случайни индуктивности и капацитети влизат в системата, като това променя местоположението на полюсите и нулите. В техниката на кореновата локуса в системите за управление ще оценим положението на корените, тяхното движение и свързаната информация. Тази информация ще бъде използвана за коментар относно производителността на системата.
Сега, преди да представя какво е техника на кореновата локуса, е много важно да обсъдим някои от предимствата на тази техника в сравнение с други критерии за стабилност. Някои от предимствата на техниката на кореновата локуса са написани по-долу.

Предимства на техниката на кореновата локуса

1. Техниката на кореновата локуса в системите за управление е по-лесна за прилагане в сравнение с други методи.

2. С помощта на кореновата локуса можем лесно да прогнозираме производителността на цялата система.

3. Кореновата локуса предоставя по-добър начин за указване на параметрите.

Сега има различни термини, свързани с техниката на кореновата локуса, които ще използваме често в тази статия.

1. Характеристично уравнение, свързано с техниката на кореновата локуса : 1 + G(s)H(s) = 0 е известно като характеристично уравнение. Сега, ако диференцираме характеристичното уравнение и приравним dk/ds на нула, можем да получим точки на разцепяване.

2. Точки на разцепяване : Нека две коренови локуси, които започват от полюс и се движат в противоположни посоки, се сблъскат така, че след сблъсъка те започват да се движат в различни посоки по симетричен начин. Или точки на разцепяване, в които се появяват множествени корени на характеристичното уравнение 1 + G(s)H(s) = 0. Стойността на K е максимална в точките, където клоновете на кореновата локуса се разцепяват. Точки на разцепяване могат да бъдат реални, имагинерни или комплексни.

3. Точки на влизане : Условието за наличие на точки на влизане в графиката е написано по-долу : Кореновата локуса трябва да съществува между две съседни нули на реалната ос.

4. Център на тежестта : Той е известен още като центроид и е дефиниран като точка в графиката, от която всички асимптоти започват. Математически той се изчислява като разликата от сумата на полюсите и нулите в преносната функция, когато е разделена на разликата от общия брой полюси и общия брой нули. Центърът на тежестта винаги е реален и се означава с σA.
   
   Където, N е броят на полюсите, а M е броят на нулите.

5. Асимптоти на кореновата локуса : Асимптотите произтичат от центъра на тежестта или центроида и се насочват към безкрайността под определен ъгъл. Асимптотите предоставят посока на кореновата локуса, когато те се отделят от точки на разцепяване.

6. Ъгъл на асимптотите : Асимптотите правят определен ъгъл с реалната ос и този ъгъл може да бъде изчислен от дадената формула,
   
   Където, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N е общият брой полюси
   M е общият брой нули.

7. Ъгъл на пристигане или заминаване : Изчисляваме ъгъла на заминаване, когато в системата съществуват комплексни полюси. Ъгълът на заминаване може да бъде изчислен като 180-{(сума от ъгли до комплексен полюс от другите полюси)-(сума от ъгли до комплексен полюс от нулите)}.

8. Пресичане на кореновата локуса с имагинерната ос : За да намерим точката на пресичане на кореновата локуса с имагинерната ос, трябва да използваме критерия на Routh Hurwitz. Първо, намираме допълнителното уравнение, след което съответната стойност на K ще даде стойността на точката на пресичане.

9. Марж на печалба : Определяме маржа на печалба като стойността, с която проектната стойност на фактора на печалба може да бъде умножена, преди системата да стане нестабилна. Математически той се дава от формулата
   

10. Фазов марж : Фазовият марж може да бъде изчислен от дадената формула:
    

11. Симетрия на кореновата локуса : Кореновата локуса е симетрична спрямо х-оса или реалната ос.

Как да определим стойността на K във всяка точка на кореновата локуса? Сега има два начина за определяне на стойността на K, всеки от които е описан по-долу.

1. Критерий за величина : Във всяка точка на кореновата локуса можем да приложим критерия за величина, както следва,
   
   Използвайки тази формула, можем да изчислим стойността на K в желаната точка.

2. Използване на графика на кореновата локуса : Стойността на K във всяка s на кореновата локуса се дава от
   

Графика на кореновата локуса

Това е известно още като техника на кореновата локуса в системите за управление и се използва за определяне на стабилността на дадената система. Сега, за да определим стабилността на системата, използвайки техниката на кореновата локуса, намираме диапазона от стойности на K, за които пълната производителност на системата ще бъде удовлетворителна и операцията ще бъде стабилна.
Сега има някои резултати, които трябва да се помнят, за да се изчертае кореновата локуса. Тези резултати са написани по-долу:

1. Регион, в който съществува кореновата локуса : След изчертането на всички полюси и нули в равнината, можем лесно да намерим региона на съществуване на кореновата локуса, използвайки един прост принцип, който е написан по-долу,
   Само този сегмент ще бъде взет предвид при изчертаването на кореновата локуса, ако общият брой полюси и нули от дясната страна на сегмента е нечетен.

2. Как да се изчисли броят на отделните коренови локуси ? : Броят на отделните коренови локуси е равен на общия брой корени, ако броят на корените е по-голям от броя на полюсите, в противен случай броят на отделните коренови локуси е равен на общия брой полюси, ако броят на корените е по-голям от броя на нулите.

Процедура за изчертаване на кореновата локуса

При спазване на всички тези точки, сме в състояние да изчертаем графиката на кореновата локуса за всякакъв вид система. Сега нека обсъдим процедурата за изчертаване на кореновата локуса.

1. Намерете всички корени и полюси от отворената преносна функция и ги изчертайте в комплексната равнина.

2. Всички коренови локуси започват от полюсите, където k = 0, и приключват в нулите, където K клони към безкрайност. Броят на клоновете, приключващи в безкрайност, е равен на разликата между броя на полюсите и броя на нулите на G(s)H(s).

3. Намерете региона на съществуване на кореновата локуса по метода, описан по-горе, след като намерите стойностите на M и N.

4. Изчислете точки на разцепяване и точки на влизане, ако такива съществуват.