Technique du lieu des racines dans le système de contrôle | Diagramme du lieu des racines

La technique des lieux de racines dans les systèmes de contrôle a été introduite pour la première fois en 1948 par Evans. Tout système physique est représenté par une fonction de transfert sous la forme de

Nous pouvons trouver les pôles et les zéros à partir de G(s). L'emplacement des pôles et des zéros est crucial pour la stabilité, la stabilité relative, la réponse transitoire et l'analyse d'erreur. Lorsque le système est mis en service, l'inductance et la capacité parasites s'introduisent dans le système, modifiant ainsi l'emplacement des pôles et des zéros. Dans la technique des lieux de racines dans les systèmes de contrôle, nous évaluerons la position des racines, leur trajectoire de déplacement et les informations associées. Ces informations seront utilisées pour commenter la performance du système.
Maintenant, avant que j'introduise ce qu'est la technique des lieux de racines, il est très important de discuter de quelques-uns des avantages de cette technique par rapport à d'autres critères de stabilité. Certains des avantages de la technique des lieux de racines sont énumérés ci-dessous.

Avantages de la technique des lieux de racines

1. La technique des lieux de racines dans les systèmes de contrôle est plus facile à mettre en œuvre par rapport aux autres méthodes.

2. Avec l'aide des lieux de racines, nous pouvons facilement prédire la performance du système dans son ensemble.

3. Les lieux de racines offrent une meilleure façon d'indiquer les paramètres.

Il existe divers termes liés à la technique des lieux de racines que nous utiliserons fréquemment dans cet article.

1. Équation caractéristique liée à la technique des lieux de racines : 1 + G(s)H(s) = 0 est connue sous le nom d'équation caractéristique. En différenciant maintenant l'équation caractéristique et en égalant dk/ds à zéro, nous pouvons obtenir les points de rupture.

2. Points de rupture : Supposons que deux lieux de racines qui partent d'un pôle et se déplacent en directions opposées se heurtent l'un à l'autre de telle sorte qu'après la collision, ils commencent à se déplacer de manière symétrique dans différentes directions. Ou les points de rupture où plusieurs racines de l'équation caractéristique 1 + G(s)H(s) = 0 se produisent. La valeur de K est maximale aux points où les branches des lieux de racines se séparent. Les points de rupture peuvent être réels, imaginaires ou complexes.

3. Points de jonction : La condition pour qu'il y ait un point de jonction sur le tracé est la suivante : Le lieu de racines doit être présent entre deux zéros adjacents sur l'axe réel.

4. Centre de gravité : Il est également connu sous le nom de centroïde et est défini comme le point sur le tracé à partir duquel toutes les asymptotes commencent. Mathématiquement, il est calculé par la différence de la somme des pôles et des zéros dans la fonction de transfert lorsqu'elle est divisée par la différence du nombre total de pôles et du nombre total de zéros. Le centre de gravité est toujours réel et est noté par σA.
   
   Où N est le nombre de pôles et M est le nombre de zéros.

5. Asymptotes des lieux de racines : Les asymptotes partent du centre de gravité ou du centroïde et vont à l'infini à un certain angle. Les asymptotes donnent une direction aux lieux de racines lorsqu'ils quittent les points de rupture.

6. Angle des asymptotes : Les asymptotes forment un certain angle avec l'axe réel et cet angle peut être calculé à partir de la formule suivante,
   
   Où, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N est le nombre total de pôles
   M est le nombre total de zéros.

7. Angle d'arrivée ou de départ : Nous calculons l'angle de départ lorsque le système comporte des pôles complexes. L'angle de départ peut être calculé comme 180 - {(somme des angles vers un pôle complexe à partir des autres pôles) - (somme des angles vers un pôle complexe à partir des zéros)}.

8. Intersection des lieux de racines avec l'axe imaginaire : Pour trouver le point d'intersection des lieux de racines avec l'axe imaginaire, nous devons utiliser le critère de Routh-Hurwitz. D'abord, nous trouvons l'équation auxiliaire, puis la valeur correspondante de K donnera la valeur du point d'intersection.

9. Marge de gain : Nous définissons la marge de gain par laquelle la valeur de conception du facteur de gain peut être multipliée avant que le système ne devienne instable. Mathématiquement, elle est donnée par la formule
   

10. Marge de phase : La marge de phase peut être calculée à partir de la formule suivante:
    

11. Symétrie des lieux de racines : Les lieux de racines sont symétriques par rapport à l'axe x ou l'axe réel.

Comment déterminer la valeur de K à tout point sur les lieux de racines ? Il existe deux façons de déterminer la valeur de K, chacune est décrite ci-dessous.

1. Critère de magnitude : À tout point sur les lieux de racines, nous pouvons appliquer le critère de magnitude comme suit,
   
   En utilisant cette formule, nous pouvons calculer la valeur de K à tout point souhaité.

2. En utilisant le tracé des lieux de racines : La valeur de K à tout s sur les lieux de racines est donnée par
   

Tracé des lieux de racines

Cela est également connu sous le nom de technique des lieux de racines dans les systèmes de contrôle et est utilisé pour déterminer la stabilité du système donné. Afin de déterminer la stabilité du système en utilisant la technique des lieux de racines, nous trouvons la plage de valeurs de K pour laquelle la performance complète du système sera satisfaisante et l'opération stable.
Maintenant, il y a certains résultats que l'on devrait retenir pour tracer les lieux de racines. Ces résultats sont énumérés ci-dessous:

1. Région où les lieux de racines existent : Après avoir tracé tous les pôles et les zéros sur le plan, nous pouvons facilement déterminer la région d'existence des lieux de racines en utilisant une règle simple qui est la suivante,
   Seul le segment sera considéré pour tracer les lieux de racines si le nombre total de pôles et de zéros à droite du segment est impair.

2. Comment calculer le nombre de lieux de racines distincts ? : Le nombre de lieux de racines distincts est égal au nombre total de racines si le nombre de racines est supérieur au nombre de pôles, sinon, le nombre de lieux de racines distincts est égal au nombre total de pôles si le nombre de racines est supérieur au nombre de zéros.

Procédure pour tracer les lieux de racines

En gardant tous ces points à l'esprit, nous sommes capables de tracer le tracé des lieux de racines pour n'importe quel type de système. Maintenant, discutons de la procédure de réalisation d'un tracé des lieux de racines.

1. Trouvez tous les pôles et les zéros à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte, puis tracez-les sur le plan complexe.

2. Tous les lieux de racines commencent aux pôles où k = 0 et se terminent aux zéros où K tend vers l'infini. Le nombre de branches se terminant à l'infini est égal à la différence entre le nombre de pôles et le nombre de zéros de G(s)H(s).

3. Déterminez la région d'existence des lieux de racines en utilisant la méthode décrite ci-dessus après avoir trouvé les valeurs de M et N.

4. Calculez les points de rupture et les points de jonction s'il y en a.

5. Tracez les asymptotes et le point centroïde sur le plan complexe pour les lieux de racines en calculant la pente des asymptotes.

6. Maintenant, calculez l'angle de départ et l'intersection des lieux de racines avec l'axe imaginaire.

7. Maintenant, déterminez la valeur de K en utilisant l'une des méthodes que j'ai décrites ci-dessus.

   En suivant la procédure ci-dessus, vous pouvez facilement tracer le tracé des lieux de racines pour n'importe quelle fonction de transfert en boucle ouverte.

8. Calculez la marge de gain.

9. Calculez la marge de phase.

10. Vous pouvez facilement commenter la stabilité du système en utilisant le tableau de Routh.

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