Rodplads-teknik i styresystem | Rodplads-plot

Rodalægnsteknikken i kontrolsystemer blev først introduceret i 1948 af Evans. Ethvert fysisk system repræsenteres ved en overførselsfunktion på formen

Vi kan finde poler og nulpunkter fra G(s). Placeringen af poler og nulpunkter er afgørende for stabilitet, relativ stabilitet, overgangsrespons og fejlanalyse. Når systemet sættes i drift, kommer uønskede induktancer og kapacitancer ind i systemet, hvilket ændrer placeringen af poler og nulpunkter. I rodalægnsteknikken i kontrolsystemer vil vi vurdere positionen af rodene, deres bevægelsesvej og tilhørende information. Denne information vil blive brugt til at kommentere på systemets ydeevne.
Nu, før jeg introducerer, hvad rodalægnsteknik er, er det meget vigtigt her at diskutere nogle af fordelene ved denne teknik i forhold til andre stabilitetskriterier. Nogle af fordelene ved rodalægnsteknikken er skrevet nedenunder.

Fordel ved Rodalægnsteknik

1. Rodalægnsteknikken i kontrolsystemer er let at implementere i forhold til andre metoder.

2. Med hjælp fra rodalægn kan vi nemt forudsige hele systemets ydeevne.

3. Rodalægn giver en bedre måde at angive parametre på.

Der findes nu forskellige termer relateret til rodalægnsteknikken, som vi vil bruge ofte i denne artikel.

1. Karakteristisk ligning relateret til rodalægnsteknik : 1 + G(s)H(s) = 0 kaldes karakteristisk ligning. Nu ved at differentiere den karakteristiske ligning og ved at sætte dk/ds lig med nul, kan vi få brydningens punkter.

2. Brydningens punkter : Antag to rodalægner, der starter fra en pole og bevæger sig i modsat retning kolliderer med hinanden, så de efter kollisionen begynder at bevæge sig i forskellige retninger symmetrisk. Eller brydningens punkter, hvor flere rødder af den karakteristiske ligning 1 + G(s)H(s) = 0 optræder. Værdien af K er maksimal i de punkter, hvor grenene af rodalægnerne bryder ud. Brydningens punkter kan være reelle, imaginære eller komplekse.

3. Brydningens punkter : Betingelsen for, at der skal være et brydningens punkt på plottet, er følgende : Rodalægn skal være til stede mellem to nabosættende nulpunkter på den reelle akse.

4. Tyngdepunkt : Det er også kendt som centroid og defineres som det punkt på plottet, hvor alle asymptoterne starter. Matematisk beregnes det ved forskellen mellem summen af poler og nulpunkter i overførselsfunktionen, når det divideres med forskellen mellem det totale antal poler og det totale antal nulpunkter. Tyngdepunktet er altid reelt og det betegnes med σA.
   
   Hvor N er antallet af poler og M er antallet af nulpunkter.

5. Asymptoter af rodalægner : Asymptoterne starter fra tyngdepunktet eller centroiden og går mod uendelig ved en bestemt vinkel. Asymptoter giver retning til rodalægn, når de forlader brydningens punkter.

6. Vinklen af asymptoter : Asymptoter danner en vinkel med den reelle akse, og denne vinkel kan beregnes fra den givne formel,
   
   Hvor p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N er det totale antal poler
   M er det totale antal nulpunkter.

7. Ankomst- eller afgangsvinkel : Vi beregner afgangsvinklen, når der findes komplekse poler i systemet. Afgangsvinklen kan beregnes som 180-{(summen af vinkler til en kompleks pol fra de andre poler)-(summen af vinkler til en kompleks pol fra nulpunkter)}.

8. Skæringspunkt mellem rodalægn og den imaginære akse : For at finde skæringspunktet mellem rodalægn og den imaginære akse, skal vi bruge Routh-Hurwitz-kriteriet. Først finder vi den hjælpe-ligning, og den tilsvarende værdi af K vil give skæringspunktets værdi.

9. Forskydningsmargen : Vi definerer forskydningsmargenen som den faktor, hvormed designværdien af forskydningsfaktoren kan multipliceres, før systemet bliver ustabil. Matematisk er det givet ved formlen
   

10. Fasemargen : Fasemargenen kan beregnes fra den givne formel:
    

11. Symmetri af rodalægn : Rodalægn er symmetrisk omkring x-aksen eller den reelle akse.

Hvordan bestemme værdien af K på et vilkårligt punkt på rodalægnerne? Der findes nu to måder at bestemme værdien af K, hver måde er beskrevet nedenfor.

1. Magnitudekriterie : På ethvert punkt på rodalægnerne kan vi anvende magnitudekriteriet som,
   
   Ved hjælp af denne formel kan vi beregne værdien af K på et ønsket punkt.

2. Brug af rodalægnplot : Værdien af K på et s på rodalægnet er givet ved
   

Rodalægnplot

Dette er også kendt som rodalægnsteknik i kontrolsystemer og bruges til at bestemme stabiliteten af det givne system. For at bestemme stabiliteten af systemet ved hjælp af rodalægnsteknikken finder vi området af K-værdier, for hvilke systemets fulde ydeevne vil være tilfredsstillende, og operationen er stabil.
Der findes nogle resultater, man bør huske for at plotte rodalægn. Disse resultater er skrevet nedenunder:

1. Område, hvor rodalægn eksisterer : Efter at have plottet alle polerne og nulpunkterne på planen, kan vi nemt finde det område, hvor rodalægn eksisterer, ved at bruge en simpel regel, der er skrevet nedenfor,
   Kun det segment, hvor det samlede antal poler og nulpunkter på højre side af segmentet er ulige, vil blive taget i betragtning ved at lave rodalægn.

2. Hvordan beregne antallet af separate rodalægner ? : Antallet af separate rodalægner er lig med det samlede antal rødder, hvis antallet af rødder er større end antallet af poler, ellers er antallet af separate rodalægner lig med det samlede antal poler, hvis antallet af rødder er større end antallet af nulpunkter.

Procedur for at plotte rodalægn

Med disse punkter i tankerne er vi i stand til at tegne rodalægnplot for enhver type system. Lad os nu drøfte proceduren for at lave en rodalægn.

1. Find alle rødderne og polerne fra den åbne løkke-overførselsfunktion og plot dem på det komplekse plan.

2. Alle rodalægner starter fra polerne, hvor k = 0, og afslutter ved nulpunkter, hvor K tendere mod uendelig. Antallet af grene, der afslutter ved uendelig, er lig med forskellen mellem antallet af poler og antallet af nulpunkter for G(s)H(s).

3. Find det område, hvor rodalægnerne eksisterer, ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor, efter at have fundet værdierne af M og N.

4. Beregne brydningens punkter og brydningens punkter, hvis der er nogen.

5. Plot asymptoter og centroidpunkt på det komplekse plan for rodalægner ved at beregne hældningen af asymptoter.

6. Beregn nu afgangsvinklen og skæringspunktet mellem rodalægner og den imaginære akse.

7. Bestem nu værdien af K ved hjælp af en af de metoder, jeg har beskrevet ovenfor.

   Ved at følge ovenstående procedure kan du nemt tegne rodalægnplot for enhver åben løkke-overførselsfunktion.

8. Beregn forskydningsmargenen.

9. Beregn fasemargenen.

10. Du kan nemt kommentere på systemets stabilitet ved hjælp af Routh-arrayet.

Erklæring: Respektér originalen, godt indhold fortjener at deles, ved overtrædelse kontakt for sletning.