Técnica do Lugar das Raízes no Sistema de Control | Gráfico do Lugar das Raízes

A técnica do lugar das raíces no sistema de control foi introducida polo primeira vez no ano 1948 por Evans. Calquera sistema físico está representado por unha función de transferencia na forma de

Podemos atopar os polos e ceros a partir de G(s). A localización dos polos e ceros é crucial para a estabilidade, a estabilidade relativa, a resposta transitória e a análise de erros. Cando o sistema entra en servizo, as inductancias e capacitancias estráis entran no sistema, cambiando así a localización dos polos e ceros. Na técnica do lugar das raíces no sistema de control avaliaremos a posición das raíces, o seu traxecto de movemento e a información asociada. Esta información será utilizada para comentar sobre o rendemento do sistema.
Agora, antes de introducir que é a técnica do lugar das raíces, é moi esencial discutir algunhas das vantaxes desta técnica sobre outros criterios de estabilidade. Algúns das vantaxes da técnica do lugar das raíces están escritas a continuación.

Vantaxes da Técnica do Lugar das Raíces

1. A técnica do lugar das raíces no sistema de control é máis fácil de implementar en comparación con outros métodos.

2. Con a axuda do lugar das raíces podemos prever facilmente o rendemento do sistema completo.

3. O lugar das raíces proporciona unha mellor maneira de indicar os parámetros.

Agora hai varios termos relacionados coa técnica do lugar das raíces que usaremos frecuentemente neste artigo.

1. Ecuación Característica Relacionada coa Técnica do Lugar das Raíces : 1 + G(s)H(s) = 0 é coñecida como ecuación característica. Agora, ao diferenciar a ecuación característica e igualar dk/ds a cero, podemos obter os puntos de separación.

2. Puntos de Separación : Supón que dous lugares de raíces que comezan desde un polo e se moven en dirección oposta colisionan entre si de tal xeito que, despois da colisión, comezan a moverse en diferentes direccións de xeito simétrico. Ou os puntos de separación nos que ocorren múltiples raíces da ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. O valor de K é máximo nos puntos onde as ramas do lugar das raíces se separan. Os puntos de separación poden ser reais, imaxinarios ou complexos.

3. Punto de Entrada : A condición para que haxa un punto de entrada no diagrama está escrita a continuación : O lugar das raíces debe estar presente entre dous ceros adxacentes no eixe real.

4. Centro de Gravedade : Tamén coñecido como centroide e definido como o punto no diagrama a partir do cal todas as asíntotas comezan. Matematicamente, calculase mediante a diferenza da suma de polos e ceros na función de transferencia cando se divide pola diferenza do número total de polos e o número total de ceros. O centro de gravedade é sempre real e denótase por σA.
   
   Onde, N é o número de polos e M é o número de ceros.

5. Asíntotas do Lugar das Raíces : As asíntotas orixinanse do centro de gravedade ou centroide e van ao infinito nun ángulo determinado. As asíntotas proporcionan dirección ao lugar das raíces cando se apartan dos puntos de separación.

6. Ángulo das Asíntotas : As asíntotas forman algún ángulo co eixe real e este ángulo pode calcularse a partir da fórmula dada,
   
   Onde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N é o número total de polos
   M é o número total de ceros.

7. Ángulo de Saída ou Entrada : Calculamos o ángulo de saída cando existen polos complexos no sistema. O ángulo de saída pode calcularse como 180-{(suma de ángulos a un polo complexo dende os outros polos)-(suma de ángulos a un polo complexo dende os ceros)}.

8. Intersección do Lugar das Raíces co Eixe Imaxinario : Para atopar o punto de intersección do lugar das raíces co eixe imaxinario, temos que usar o criterio de Routh-Hurwitz. Primeiro, atopamos a ecuación auxiliar e entón o valor correspondente de K dará o valor do punto de intersección.

9. Margen de Ganancia : Definimos o margen de ganancia polo factor polo que o valor de deseño da ganancia pode multiplicarse antes de que o sistema sexa inestable. Matematicamente dáse pola fórmula
   

10. Margen de Fase : O margen de fase pode calcularse a partir da fórmula dada:
    

11. Simetría do Lugar das Raíces : O lugar das raíces é simétrico respecto ao eixe x ou eixe real.

Como determinar o valor de K en calquera punto do lugar das raíces? Agora hai dúas formas de determinar o valor de K, cada forma está descrita a continuación.

1. Criterio de Magnitude : En calquera punto do lugar das raíces podemos aplicar o criterio de magnitude como,
   
   Usando esta fórmula podemos calcular o valor de K en calquera punto desexado.

2. Usando o Diagrama do Lugar das Raíces : O valor de K en calquera s no lugar das raíces dáse por
   

Diagrama do Lugar das Raíces

Isto tamén é coñecido como a técnica do lugar das raíces no sistema de control e úsase para determinar a estabilidade do sistema dado. Agora, para determinar a estabilidade do sistema usando a técnica do lugar das raíces, atopamos o intervalo de valores de K para os cales o rendemento completo do sistema será satisfactorio e a operación será estable.
Agora hai algúns resultados que unha persoa debe lembrar para traçar o lugar das raíces. Estes resultados están escritos a continuación:

1. Región onde existe o lugar das raíces : Despois de traçar todos os polos e ceros no plano, podemos atopar facilmente a rexión de existencia do lugar das raíces usando unha regra simple que está escrita a continuación,
   Só ese segmento será considerado para facer o lugar das raíces se o número total de polos e ceros á dereita do segmento é impar.

2. Como calcular o número de lugares de raíces separados ? : O número de lugares de raíces separados é igual ao número total de raíces se o número de raíces é maior que o número de polos, senón, o número de lugares de raíces separados é igual ao número total de polos se o número de raíces é maior que o número de ceros.

Procedemento para Traçar o Lugar das Raíces

Tendo en conta todos estes puntos, somos capaces de debuxar o diagrama do lugar das raíces para calquera tipo de sistema. Agora, vamos discutir o procedemento para facer un lugar das raíces.

1. Atopa todos os polos e ceros a partir da función de transferencia en bucle aberto e débilos no plano complexo.

2. Todos os lugares das raíces comezan nos polos onde k = 0 e terminan nos ceros onde K tende ao infinito. O número de ramas que terminan no infinito é igual á diferenza entre o número de polos e o número de ceros de G(s)H(s).

3. Atopa a rexión de existencia do lugar das raíces a partir do método descrito arriba despois de atopar os valores de M e N.

4. Calcula os puntos de separación e os puntos de entrada se os hai.

5. Traza as asíntotas e o punto de centroide no plano complexo para o lugar das raíces calculando a pendente das asíntotas.

6. Agora calcula o ángulo de saída e a intersección do lugar das raíces co eixe imaxinario.

7. Agora determina o valor de K usando calquera un dos métodos que describín arriba.

   Seguindo o procedemento anterior, podes debuxar facilmente o diagrama do lugar das raíces para calquera función de transferencia en bucle aberto.

8. Calcula o margen de ganancia.

9. Calcula o margen de fase.

10. Podes comentar facilmente sobre a estabilidade do sistema usando a matriz de Routh.

Declaración: Respete o original, artigos bons merrecen ser compartidos, se hai algún infracción contacte para eliminar.