Rotlokaliseringsmetode i styresystem | Rotlokaliseringsplot

Rotløkusmetoden i styresystem ble først introdusert i 1948 av Evans. Ethvert fysisk system representeres ved en overføringsfunksjon på formen

Vi kan finne poler og nullpunkter fra G(s). Plasseringen av poler og nullpunkter er avgjørende for stabilisering, relativ stabilitet, transitorisk respons og feilanalyse. Når systemet settes i drift, kommer tilfeldige induktanser og kapasiteter inn i systemet, noe som endrer plasseringen av poler og nullpunkter. I rotløkusmetoden i styresystem vil vi evaluere posisjonen til rotene, deres bevegelsesbane og relatert informasjon. Denne informasjonen vil bli brukt til å kommentere systemets ytelse.
Nå, før jeg introducerer hva rotløkusmetoden er, er det viktig her å diskutere noen av fordelene med denne metoden sammenlignet med andre stabilitetskriterier. Noen av fordelene med rotløkusmetoden er skrevet nedenfor.

Fordeler med Rotløkusmetoden

1. Rotløkusmetoden i styresystem er enklere å implementere sammenlignet med andre metoder.

2. Med hjelp av rotløkus kan vi lett forutsi prestasjonen av hele systemet.

3. Rotløkus gir en bedre måte å indikere parametre på.

Nå er det flere termer relatert til rotløkusmetoden som vi vil bruke ofte i denne artikkelen.

1. Karakteristisk ligning relatert til rotløkusmetoden : 1 + G(s)H(s) = 0 er kjent som karakteristisk ligning. Nå ved å derivere den karakteristiske ligningen og ved å sette dk/ds lik null, kan vi få brytpunkter.

2. Brytpunkter : Anta at to rotløkuser som starter fra en pol og beveger seg i motsatt retning kolliderer med hverandre slik at etter kollisjonen de begynner å bevege seg i ulike retninger symmetrisk. Eller brytpunktene der flere røtter i den karakteristiske ligningen 1 + G(s)H(s) = 0 oppstår. Verdien av K er maksimal ved punktene hvor grenene av rotløkuser bryter unna. Brytpunkter kan være reelle, imaginære eller komplekse.

3. Bryting : Betingelsen for at det skal være bryting på plottet er skrevet nedenfor : Rotløkus må være til stede mellom to nabolegende nullpunkter på den reelle aksen.

4. Senter for tyngde : Det er også kjent som sentroid og defineres som punktet på plottet fra hvilket alle asymptotene starter. Matematisk beregnes det ved forskjellen på summen av poler og nullpunkter i overføringsfunksjonen når delt på forskjellen av totalt antall poler og totalt antall nullpunkter. Senter for tyngde er alltid reelt og betegnes med σA.
   
   Der N er antall poler og M er antall nullpunkter.

5. Asymptoter til rotløkuser : Asymptote oppstår fra sentrum for tyngde eller sentroid og går mot uendelig ved bestemte vinkler. Asymptoter gir retning til rotløkuser når de forlater brytpunkter.

6. Vinkel av asymptoter : Asymptoter danner en vinkel med den reelle aksen, og denne vinkelen kan beregnes fra den gitte formelen,
   
   Der, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N er totalt antall poler
   M er totalt antall nullpunkter.

7. Ankomst- eller avreisevinkel : Vi beregner avreisevinkel når det eksisterer komplekse poler i systemet. Avreisevinkel kan beregnes som 180-{(summen av vinkler til en kompleks pol fra de andre polene)-(summen av vinkler til en kompleks pol fra nullpunktene)}.

8. Skjæring av rotløkus med den imaginære aksen : For å finne ut skjæringspunktet mellom rotløkus og den imaginære aksen, må vi bruke Routh Hurwitz-kriteriet. Først finner vi den hjelpe-ligningen, så vil den korrespondende verdien av K gi verdi av skjæringspunktet.

9. Forskyvningsmargin : Vi definerer forskyvningsmarginen som den faktorverdien av designverdien kan multipliseres før systemet blir ustabil. Matematisk gis det av formelen
   

10. Fasemargin : Fasemargin kan beregnes fra den gitte formelen:
    

11. Symmetri av rotløkus : Rotløkus er symmetrisk om x-aksen eller den reelle aksen.

Hvordan bestemme verdien av K på et hvilket som helst punkt på rotløkuser? Nå er det to måter å bestemme verdien av K, hver metode beskrives nedenfor.

1. Størrelseskriterier : På ethvert punkt på rotløkuser kan vi anvende størrelseskriterier som,
   
   Ved hjelp av denne formelen kan vi beregne verdien av K på et hvilket som helst ønsket punkt.

2. Bruk av rotløkusplott : Verdien av K på et hvilket som helst s på rotløkuser er gitt av
   

Rotløkusplott

Dette er også kjent som rotløkusmetoden i styresystem og brukes for å bestemme stabiliteten til det gitte systemet. Nå for å bestemme stabiliteten til systemet ved hjelp av rotløkusmetoden, finner vi rekkevidden av verdier for K for hvilken fullstendig prestasjon av systemet vil være tilfredsstillende og operasjonen stabil.
Nå er det noen resultater man bør huske for å tegne rotløkuset. Disse resultatene er skrevet nedenfor:

1. Område der rotløkus eksisterer : Etter å ha tegnet alle poler og nullpunkter på planet, kan vi lett finne ut området der rotløkus eksisterer ved å bruke en enkel regel som er skrevet nedenfor,
   Kun det segmentet vil bli tatt i betraktning for å lage rotløkus hvis det totale antallet poler og nullpunkter på høyre side av segmentet er oddetall.

2. Hvordan beregne antallet av separate rotløkuser ? : Antallet av separate rotløkuser er lik det totale antallet røtter hvis antallet røtter er større enn antallet poler, ellers er antallet av separate rotløkuser lik det totale antallet poler hvis antallet røtter er større enn antallet nullpunkter.

Prosedur for å tegne rotløkus

Med all dette i tankene, er vi i stand til å tegne rotløkusplott for enhver type system. La oss nå diskutere prosedyren for å lage et rotløkus.

1. Finn ut alle røtter og poler fra den åpne løkkeoverføringsfunksjonen, og tegn dem på det komplekse planet.

2. Alle rotløkuser starter fra polene der k = 0 og avslutter ved nullpunktene der K nærmer seg uendelig. Antallet grener som avslutter ved uendelig er lik forskjellen mellom antallet poler & antallet nullpunkter av G(s)H(s).

3. Finn området for eksistens av rotløkuser fra metoden beskrevet ovenfor etter å ha funnet verdiene av M og N.

4. Beregn brytpunkter og brytingspunkter hvis det finnes noen.

5. Tegn asymptotene og sentroidpunktet på det komplekse planet for rotløkuser ved å beregne helningen til asymptotene.

6. Nå beregn avreisevinkel og skjæringen av rotløkuser med den imaginære aksen.

7. Nå bestem verdien av K ved å bruke en av metodene jeg har beskrevet ovenfor.

   Ved å følge ovennevnte prosedyre, kan du enkelt tegne rotløkusplott for enhver åpen løkkeoverføringsfunksjon.

8. Beregn forskyvningsmarginen.

9. Beregn fasemarginen.

10. Du kan lett kommentere på stabiliteten til systemet ved å bruke Routh Array.

Erklæring: Respekt for originaliteten, godt artikler verdt å dele, ved infringing kontakt slett.