Técnica do Lugar das Raízes no Sistema de Controle | Gráfico do Lugar das Raízes

A técnica de lugar das raízes em sistemas de controle foi introduzida pela primeira vez no ano de 1948 por Evans. Qualquer sistema físico é representado por uma função de transferência na forma de

Podemos encontrar os polos e zeros a partir de G(s). A localização dos polos e zeros é crucial para a estabilidade, estabilidade relativa, resposta transitória e análise de erro. Quando o sistema é colocado em operação, indutâncias e capacitâncias parasitas entram no sistema, alterando assim a localização dos polos e zeros. Na técnica de lugar das raízes em sistemas de controle, avaliaremos a posição das raízes, seu traçado de movimento e as informações associadas. Essas informações serão usadas para comentar sobre o desempenho do sistema.
Agora, antes de introduzir o que é a técnica de lugar das raízes, é muito essencial discutir algumas das vantagens desta técnica sobre outros critérios de estabilidade. Algumas das vantagens da técnica de lugar das raízes são escritas abaixo.

Vantagens da Técnica de Lugar das Raízes

1. A técnica de lugar das raízes em sistemas de controle é fácil de implementar em comparação com outros métodos.

2. Com a ajuda do lugar das raízes, podemos facilmente prever o desempenho de todo o sistema.

3. O lugar das raízes fornece uma melhor maneira de indicar os parâmetros.

Agora, existem vários termos relacionados à técnica de lugar das raízes que usaremos frequentemente neste artigo.

1. Equação Característica Relacionada à Técnica de Lugar das Raízes : 1 + G(s)H(s) = 0 é conhecida como equação característica. Agora, diferenciando a equação característica e igualando dk/ds a zero, podemos obter pontos de separação.

2. Pontos de Separação : Suponha que dois lugares das raízes, que começam em um polo e se movem em direções opostas, colidam entre si de tal forma que, após a colisão, eles comecem a se mover em diferentes direções de forma simétrica. Ou os pontos de separação nos quais múltiplas raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0 ocorrem. O valor de K é máximo nos pontos onde os ramos do lugar das raízes se separam. Os pontos de separação podem ser reais, imaginários ou complexos.

3. Pontos de Entrada : A condição para que haja pontos de entrada no gráfico é escrita abaixo : O lugar das raízes deve estar presente entre dois zeros adjacentes no eixo real.

4. Centro de Gravidade : Também conhecido como centróide e definido como o ponto no gráfico a partir do qual todas as assíntotas começam. Matematicamente, é calculado pela diferença da soma dos polos e zeros na função de transferência, quando dividida pela diferença do número total de polos e o número total de zeros. O centro de gravidade é sempre real e é denotado por σA.
   
   Onde, N é o número de polos e M é o número de zeros.

5. Assíntotas do Lugar das Raízes : As assíntotas originam-se do centro de gravidade ou centróide e vão ao infinito em um ângulo definido. As assíntotas fornecem direção ao lugar das raízes quando elas se separam dos pontos de separação.

6. Ângulo das Assíntotas : As assíntotas formam algum ângulo com o eixo real, e este ângulo pode ser calculado a partir da fórmula dada abaixo,
   
   Onde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N é o número total de polos
   M é o número total de zeros.

7. Ângulo de Chegada ou Partida : Calculamos o ângulo de partida quando existem polos complexos no sistema. O ângulo de partida pode ser calculado como 180 - {(soma dos ângulos a um polo complexo a partir dos outros polos) - (soma dos ângulos a um polo complexo a partir dos zeros)}.

8. Interseção do Lugar das Raízes com o Eixo Imaginário : Para encontrar o ponto de interseção do lugar das raízes com o eixo imaginário, devemos usar o critério de Routh-Hurwitz. Primeiro, encontramos a equação auxiliar, então o valor correspondente de K dará o valor do ponto de interseção.

9. Margem de Ganho : Definimos a margem de ganho pelo qual o valor de design do fator de ganho pode ser multiplicado antes que o sistema se torne instável. Matematicamente, é dado pela fórmula
   

10. Margem de Fase : A margem de fase pode ser calculada a partir da fórmula dada abaixo:
    

11. Simetria do Lugar das Raízes : O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo x ou ao eixo real.

Como determinar o valor de K em qualquer ponto do lugar das raízes? Existem duas maneiras de determinar o valor de K, cada uma descrita abaixo.

1. Critério de Magnitude : Em qualquer ponto do lugar das raízes, podemos aplicar o critério de magnitude, conforme abaixo,
   
   Usando esta fórmula, podemos calcular o valor de K em qualquer ponto desejado.

2. Usando o Gráfico do Lugar das Raízes : O valor de K em qualquer s no lugar das raízes é dado por
   

Gráfico do Lugar das Raízes

Isso também é conhecido como técnica de lugar das raízes em sistemas de controle e é usado para determinar a estabilidade do sistema dado. Agora, para determinar a estabilidade do sistema usando a técnica de lugar das raízes, encontramos a faixa de valores de K para os quais o desempenho completo do sistema será satisfatório e a operação será estável.
Agora, existem alguns resultados que alguém deve lembrar para plotar o lugar das raízes. Esses resultados são escritos abaixo:

1. Região onde o lugar das raízes existe : Depois de plotar todos os polos e zeros no plano, podemos facilmente descobrir a região de existência do lugar das raízes usando uma regra simples, que é escrita abaixo,
   Apenas aquele segmento será considerado na elaboração do lugar das raízes se o número total de polos e zeros à direita do segmento for ímpar.

2. Como calcular o número de locais de raízes separados ? : O número de locais de raízes separados é igual ao número total de raízes, se o número de raízes for maior que o número de polos, caso contrário, o número de locais de raízes separados é igual ao número total de polos, se o número de raízes for maior que o número de zeros.

Procedimento para Plotar o Lugar das Raízes

Considerando todos esses pontos, somos capazes de desenhar o gráfico do lugar das raízes para qualquer tipo de sistema. Agora, vamos discutir o procedimento de fazer um lugar das raízes.

1. Descubra todos os polos e zeros a partir da função de transferência de malha aberta e, em seguida, plote-os no plano complexo.

2. Todos os lugares das raízes começam nos polos onde k = 0 e terminam nos zeros onde K tende ao infinito. O número de ramos que terminam no infinito é igual à diferença entre o número de polos e o número de zeros de G(s)H(s).

3. Descubra a região de existência do lugar das raízes pelo método descrito acima, após encontrar os valores de M e N.

4. Calcule os pontos de separação e os pontos de entrada, se houver.

5. Plote as assíntotas e o ponto de centróide no plano complexo para o lugar das raízes, calculando a inclinação das assíntotas.

6. Agora, calcule o ângulo de partida e a interseção do lugar das raízes com o eixo imaginário.

7. Agora, determine o valor de K usando qualquer um dos métodos que descrevi acima.

   Seguindo o procedimento acima, você pode facilmente desenhar o gráfico do lugar das raízes para qualquer função de transferência de malha aberta.

8. Calcule a margem de ganho.

9. Calcule a margem de fase.

10. Você pode facilmente comentar sobre a estabilidade do sistema usando o Arranjo de Routh.

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