Kontrol Sisteminde Kök Yolu Tekniği | Kök Yolu Grafiği

Kontrol sistemlerindeki kök yerleşim şeması tekniği ilk olarak 1948 yılında Evans tarafından tanıtıldı. Herhangi bir fiziksel sistem G(s) formundaki bir transfer fonksiyonu ile temsil edilir.

G(s)'den kutupları ve sıfırları bulabiliriz. Kutupların ve sıfırların konumu, istikrar, nispi istikrar, geçici tepki ve hata analizi açısından kritik öneme sahiptir. Sistem hizmete alındığında, parazit indüktans ve kapasitans sisteme girebilir, bu da kutupların ve sıfırların konumunu değiştirir. kontrol sistemlerinde kök yerleşim şeması teknikleri ile köklerin konumunu, hareket yönünü ve ilgili bilgileri değerlendireceğiz. Bu bilgiler, sistemin performansını yorumlamak için kullanılacaktır.
Şimdi, kök yerleşim şeması tekniklerini tanıtmadan önce, bu tekniğin diğer istikrar kriterlerine göre bazı avantajlarını tartışmak çok önemlidir. Kök yerleşim şeması tekniklerinin bazı avantajları aşağıda belirtilmiştir.

Kök Yerleşim Şeması Tekniklerinin Avantajları

1. Kök yerleşim şeması teknikleri, diğer yöntemlere kıyasla uygulaması kolaydır.

2. Kök yerleşim şeması yardımıyla tüm sistemin performansını kolayca öngörebiliriz.

3. Kök yerleşim şeması, parametreleri göstermek için daha iyi bir yol sağlar.

Bu makalede sıklıkla kullanacağımız çeşitli terimler var.

1. Kök Yerleşim Şeması Teknikleri İle İlgili Karakteristik Denklem: 1 + G(s)H(s) = 0 ifadesi karakteristik denklemdir. Şimdi, karakteristik denklemi türetip dk/ds'yi sıfıra eşitlediğimizde, ayrılma noktalarını elde edebiliriz.

2. Ayrılma Noktaları: Birbirine zıt yönde hareket eden iki kök yerleşim şeması birbirine çarpar ve çarpışmadan sonra farklı yönlerde simetrik bir şekilde hareket etmeye başlar. Ya da 1 + G(s)H(s) = 0 karakteristik denkleminin birden fazla kökü olan ayrılma noktaları. K değeri, kök yerleşim şemasının dallarının ayrıldığı noktalarda en yüksektir. Ayrılma noktaları gerçek, sanal veya karmaşık olabilir.

3. Ayrılma Noktası: Aşağıdaki koşul altında grafik üzerinde ayrılma olması gerekir:
   Kök yerleşim şeması, reel eksen üzerinde iki komşu sıfır arasında bulunmalıdır..

4. Ağırlık Merkezi: Bu, tüm asimptotların başladığı grafiğin bir noktasıdır. Matematiksel olarak, toplam kutup sayısı ve toplam sıfır sayısı arasındaki farka bölünerek transfer fonksiyonundaki kutupların ve sıfırların toplamı hesaplanır. Ağırlık merkezi her zaman gerçek sayıdır ve σA ile gösterilir.
   
   Burada, N kutup sayısı ve M sıfır sayısıdır.

5. Kök Yerleşim Şeması Asimptotları: Asimptot, ağırlık merkezi veya ağırlık merkezinden başlayıp belirli bir açıda sonsuza kadar uzanır. Asimptotlar, ayrılma noktalarından ayrılırken kök yerleşim şemasına yön verir.

6. Asimptotların Açıları: Asimptotlar, reel eksenle belirli bir açı yapar ve bu açı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
   
   Burada, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N toplam kutup sayısı
   M toplam sıfır sayısı.

7. Gelişme veya Çıkış Açıları: Sistemin karmaşık kutupları olduğunda gelişme açısını hesaplarız. Gelişme açısı, 180 - {(diğer kutuplardan bir karmaşık kutupa olan açıların toplamı) - (sıfırlardan bir karmaşık kutupa olan açıların toplamı)} şeklinde hesaplanır.

8. Kök Yerleşim Şemasının Sanal Eksenle Kesişimi: Kök yerleşim şemasının sanal eksenle kesişim noktasını bulmak için Routh-Hurwitz kriterini kullanmalıyız. Öncelikle yardımcı denklemi buluruz, ardından karşılık gelen K değeri kesişim noktasını verecektir.

9. Kazanç Marjı: Tasarım kazancı faktörünün değerinin, sistem istikrarsız hale gelmeden önce çarpılabileceği miktarı tanımlar. Matematiksel olarak, bu formülle verilir:
   

10. Faz Marjı: Faz marjı, aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
    

11. Kök Yerleşim Şemasının Simetriği: Kök yerleşim şeması, x ekseni veya reel eksen hakkında simetriktir.

Kök yerleşim şemasındaki herhangi bir noktadaki K değerini nasıl belirleriz? Şimdi K değerini belirlemek için iki yolu var, her bir yöntemi aşağıda açıkladım.

1. Genlik Kriteri: Kök yerleşim şemasındaki herhangi bir noktada genlik kriterini uygulayabiliriz:
   
   Bu formülü kullanarak istediğiniz herhangi bir noktadaki K değerini hesaplayabilirsiniz.

2. Kök Yerleşim Şeması Kullanarak: Kök yerleşim şemasındaki herhangi bir s noktası için K değeri şu şekilde verilir:
   

Kök Yerleşim Şeması

Bu, aynı zamanda kontrol sistemlerinde kök yerleşim şeması teknikleri olarak da bilinir ve sistemin istikrarını belirlemek için kullanılır. Şimdi, kök yerleşim şeması teknikleri kullanarak sistemin istikrarını belirlemek için, sistemin tam performansının tatmin edici ve işlem istikrarsız olmayacak şekilde K'nın değer aralığını bulmalıyız.
Şimdi, kök yerleşim şemasını çizmek için bazı sonuçları hatırlamanız gerekmektedir. Bu sonuçlar aşağıda belirtilmiştir:

1. Kök yerleşim şemasının olduğu bölge: Tüm kutupları ve sıfırları düzlem üzerinde çizdikten sonra, aşağıdaki basit kuralı kullanarak kök yerleşim şemasının var olan bölgesini kolayca bulabiliriz:
   Sadece segmentin sağ tarafındaki toplam kutup ve sıfır sayısı tek ise o segment kök yerleşim şeması için dikkate alınacaktır.

2. Farklı kök yerleşim şeması sayısını nasıl hesaplarız?: Farklı kök yerleşim şeması sayısı, eğer kök sayısı kutup sayısından büyükse, toplam kök sayısına eşittir, aksi halde farklı kök yerleşim şeması sayısı, eğer kök sayısı sıfır sayısından büyükse, toplam kutup sayısına eşittir.

Kök Yerleşim Şeması Çizme Prosedürü

Tüm bu noktaları göz önünde bulundurarak, her türlü sistemin kök yerleşim şemasını kolayca çizmeyi öğreneceğiz. Şimdi, kök yerleşim şemasını oluşturmak için prosedürü tartışalım.

1. Açık döngü transfer fonksiyonundan tüm kökleri ve kutupları bulup, karmaşık düzlem üzerinde çiziniz.

2. Tüm kök yerleşim şemaları, k = 0 olduğunda kutuplardan başlar ve K sonsuza giderken sıfırlarda sona erer. G(s)H(s)’nin kutup sayısı ile sıfır sayısı arasındaki fark kadar dal sonsuza doğru gider.

3. M ve N değerlerini bulduktan sonra yukarıda açıklanan yöntemle kök yerleşim şemasının var olduğu bölgeyi belirleyiniz.

4. Ayrılma noktalarını ve varsa ayrılma noktalarını hesaplayınız.

5. Asimptotların eğimini hesaplayarak karmaşık düzlem üzerinde asimptotları ve ağırlık merkezini çiziniz.

6. Şimdi, gelişme açısını ve kök yerleşim şemasının sanal eksenle kesişimini hesaplayınız.

7. Yukarıda anlattığım herhangi bir yöntemle K değerini belirleyiniz.

   Yukarıdaki prosedürle, herhangi bir açık döngü transfer fonksiyonunun kök yerleşim şemasını kolayca çizmeyi öğreneceksiniz.

8. Kazanç marjını hesaplayınız.

9. Faz marjını hesaplayınız.

10. Routh Dizisi kullanarak sistemin istikrarını kolayca yorumlayabilirsiniz.

Bildiri: Orijinal eserlere saygı duyulmalı, paylaşılacak iyi makaleler vardır, telif hakkı ihlali varsa silme talebinde bulunun.