Τεχνική Root Locus σε Σύστημα Έλεγχου | Διάγραμμα Root Locus
Η τεχνική κατανομής ρίζων σε συστήματα έλεγχου παρουσιάστηκε πρώτη το 1948 από τον Evans. Οποιοδήποτε φυσικό σύστημα παρουσιάζεται μέσω μιας μεταβατικής λειτουργίας στη μορφή
Μπορούμε να βρούμε πόλους και μηδενικά από το G(s). Η θέση των πόλων και των μηδενικών είναι κρίσιμη για τη σταθερότητα, τη σχετική σταθερότητα, τη μεταβατική απόκριση και την ανάλυση των λαθών. Όταν το σύστημα τίθεται σε λειτουργία, παρεισφέρονται στο σύστημα τυχαίες αυξημένες αυτοδυναμίες και ικανότητες, έτσι αλλάζοντας τη θέση των πόλων και των μηδενικών. Στη τεχνική κατανομής ρίζων σε συστήματα έλεγχου θα αξιολογήσουμε τη θέση των ριζών, τη διαδρομή τους και τις συναφείς πληροφορίες. Αυτές οι πληροφορίες θα χρησιμοποιηθούν για να σχολιάσουμε την απόδοση του συστήματος.
Τώρα, πριν παρουσιάσω τι είναι η τεχνική κατανομής ρίζων, είναι πολύ σημαντικό να συζητήσω μερικά από τα πλεονεκτήματα αυτής της τεχνικής σε σχέση με άλλα κριτήρια σταθερότητας. Μερικά από τα πλεονεκτήματα της τεχνικής κατανομής ρίζων είναι τα εξής.
Πλεονεκτήματα της Τεχνικής Κατανομής Ρίζων
Η τεχνική κατανομής ρίζων σε συστήματα έλεγχου είναι εύκολη στην εφαρμογή σε σχέση με άλλες μεθόδους.
Με τη βοήθεια της κατανομής ρίζων, μπορούμε εύκολα να προβλέψουμε την απόδοση του συνόλου του συστήματος.
Η κατανομή ρίζων παρέχει καλύτερο τρόπο για να δείξει τα παράμετρα.
Υπάρχουν διάφοροι όροι σχετικά με την τεχνική κατανομής ρίζων που θα χρησιμοποιήσουμε συχνά σε αυτό το άρθρο.
Χαρακτηριστική Εξίσωση Σχετικά με την Τεχνική Κατανομής Ρίζων : 1 + G(s)H(s) = 0 είναι γνωστή ως χαρακτηριστική εξίσωση. Τώρα, διαφορικοποιώντας τη χαρακτηριστική εξίσωση και ισοτιμώντας το dk/ds ίσο με μηδέν, μπορούμε να βρούμε τα σημεία αποστασίας.
Σημεία Αποστασίας : Υποθέτουμε δύο κατανομές ρίζων που ξεκινούν από τον πόλο και κινούνται σε αντίθετη κατεύθυνση, συγκρούονται μεταξύ τους, έτσι ώστε μετά τη σύγκρουση να ξεκινούν να κινούνται με διαφορετικό τρόπο σε συμμετρικό τρόπο. ή τα σημεία αποστασίας στα οποία πολλαπλές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης 1 + G(s)H(s) = 0 εμφανίζονται. Η τιμή του K είναι μέγιστη στα σημεία όπου τα κλάδια της κατανομής ρίζων αποστασιοποιούνται. Τα σημεία αποστασίας μπορεί να είναι πραγματικά, φανταστικά ή πολύπλοκα.
Σημεία Προσάρτησης : Οι συνθήκες για την προσάρτηση να υπάρχει στο διάγραμμα είναι οι εξής :
Η κατανομή ρίζων πρέπει να είναι μεταξύ δύο γειτονικών μηδενικών στον πραγματικό άξονα
.
Κέντρο Βαρύτητας : Είναι επίσης γνωστό ως κέντρο και ορίζεται ως το σημείο στο διάγραμμα από το οποίο ξεκινούν όλες οι ασύμπτωτες. Μαθηματικά, υπολογίζεται από τη διαφορά της άθροισης των πόλων και μηδενικών στη μεταβατική λειτουργία όταν διαιρείται από τη διαφορά του συνολικού αριθμού πόλων και του συνολικού αριθμού μηδενικών. Το κέντρο βαρύτητας είναι πάντα πραγματικό και συμβολίζεται με σA.
Όπου, N είναι ο αριθμός των πόλων και M είναι ο αριθμός των μηδενικών.Ασύμπτωτες της Κατανομής Ρίζων : Οι ασύμπτωτες πηγαίνουν από το κέντρο βαρύτητας ή κέντρο και πηγαίνουν στο άπειρο σε συγκεκριμένη γωνία. Οι ασύμπτωτες παρέχουν κατεύθυνση στην κατανομή ρίζων όταν αποστασιοποιούνται από τα σημεία αποστασίας.
Γωνία των Ασύμπτωτων : Οι ασύμπτωτες δημιουργούν κάποια γωνία με τον πραγματικό άξονα και αυτή η γωνία μπορεί να υπολογιστεί από την παρακάτω τύπο,
Όπου, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N είναι ο συνολικός αριθμός πόλων
M είναι ο συνολικός αριθμός μηδενικών.Γωνία Άφιξης ή Αναχώρησης : Υπολογίζουμε τη γωνία αναχώρησης όταν υπάρχουν πολύπλοκοι πόλοι στο σύστημα. Η γωνία αναχώρησης μπορεί να υπολογιστεί ως 180-{(άθροισμα γωνιών σε έναν πολύπλοκο πόλο από τους άλλους πόλους)-(άθροισμα γωνιών σε έναν πολύπλοκο πόλο από τα μηδενικά)}.
Τομή της Κατανομής Ρίζων με το Φανταστικό Άξονα : Για να βρούμε το σημείο τομής της κατανομής ρίζων με τον φανταστικό άξονα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο Routh Hurwitz. Πρώτα, βρίσκουμε την εξίσωση βοηθείας και στη συνέχεια η αντίστοιχη τιμή του K θα δώσει την τιμή του σημείου τομής.
Περιθώριο Κέρδους : Ορίζουμε το περιθώριο κέρδους ως την τιμή με την οποία η σχεδιασμένη τιμή του παράγοντα κέρδους μπορεί να πολλαπλασιαστεί πριν το σύστημα γίνει ασταθές. Μαθηματικά, δίνεται από τον τύπο
Περιθώριο Γωνίας : Το περιθώριο γωνίας μπορεί να υπολογιστεί από τον παρακάτω τύπο:
Συμμετρία της Κατανομής Ρίζων : Η κατανομή ρίζων είναι συμμετρική σχετικά με τον άξονα x ή τον πραγματικό άξονα.
Πώς να καθορίσουμε την τιμή του K σε οποιοδήποτε σημείο της κατανομής ρίζων; Υπάρχουν δύο τρόποι για την καθορίστηκή της τιμής του K, κάθε τρόπος περιγράφεται παρακάτω.
Κριτήρια Μέγεθους : Σε οποιοδήποτε σημείο της κατανομής ρίζων μπορούμε να εφαρμόσουμε τα κριτήρια μεγέθους ως,
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του K σε οποιοδήποτε επιθυμητό σημείο.Χρησιμοποιώντας το Διάγραμμα Κατανομής Ρίζων : Η τιμή του K σε οποιοδήποτε s στην κατανομή ρίζων δίνεται από
