تکنیک مکان هندسی ریشه در سیستم کنترل | نمودار مکان هندسی ریشه
روش مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل اولین بار در سال ۱۹۴۸ توسط اوانز معرفی شد. هر سیستم فیزیکی با یک تابع انتقال به صورت زیر نمایش داده می‌شود
ما می‌توانیم قطب‌ها و صفرها را از G(s) پیدا کنیم. موقعیت قطب‌ها و صفرها از دیدگاه ثبات، ثبات نسبی، پاسخ گذرا و تحلیل خطا حیاتی است. وقتی سیستم به کار گرفته می‌شود، القای جانبی و ظرفیت در سیستم وارد می‌شوند و بنابراین موقعیت قطب‌ها و صفرها تغییر می‌کند. در روش مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل، ما موقعیت ریشه‌ها، مسیر حرکت آنها و اطلاعات مرتبط را ارزیابی می‌کنیم. این اطلاعات برای اظهار نظر درباره عملکرد سیستم استفاده می‌شود.
حالا قبل از معرفی روش مکان هندسی ریشه‌ها، بسیار ضروری است تا برخی از مزایای این روش نسبت به معیارهای ثبات دیگر را بحث کنیم. برخی از مزایای روش مکان هندسی ریشه‌ها در زیر آمده است.
مزایای روش مکان هندسی ریشه‌ها
روش مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل نسبت به روش‌های دیگر ساده‌تر است.
با کمک مکان هندسی ریشه‌ها می‌توانیم عملکرد کل سیستم را به راحتی پیش‌بینی کنیم.
مکان هندسی ریشه‌ها روش بهتری برای نشان دادن پارامترها ارائه می‌دهد.
در حال حاضر تعدادی اصطلاح مرتبط با روش مکان هندسی ریشه‌ها وجود دارد که در این مقاله به طور مکرر از آنها استفاده خواهیم کرد.
معادله مشخصه مربوط به روش مکان هندسی ریشه‌ها : 1 + G(s)H(s) = 0 معادله مشخصه نامیده می‌شود. حالا با مشتق گرفتن از معادله مشخصه و مساوی کردن dk/ds با صفر، می‌توانیم نقاط جدایی را بدست آوریم.
نقاط جدایی : فرض کنید دو مکان هندسی ریشه که از قطب شروع می‌شوند و در جهت مخالف حرکت می‌کنند، با هم برخورد می‌کنند به گونه‌ای که بعد از برخورد شروع به حرکت در جهت‌های مختلف و به صورت متقارن می‌کنند. یا نقاط جدایی که در آنها ریشه‌های چندگانه معادله مشخصه 1 + G(s)H(s) = 0 رخ می‌دهند. مقدار K در نقاطی که شاخه‌های مکان هندسی ریشه‌ها جدایی می‌یابند بیشترین است. نقاط جدایی می‌توانند حقیقی، موهومی یا مختلط باشند.
نقاط ورود : شرایط ورود بر روی نمودار در زیر آمده است :
مکان هندسی ریشه‌ها باید بین دو صفر مجاور روی محور حقیقی موجود باشد
.
مرکز ثقل : این نقطه همچنین به عنوان مرکز ثقل شناخته می‌شود و به عنوان نقطه‌ای تعریف می‌شود که از آن تمام خطوط مجانب شروع می‌شوند. ریاضیاً، این نقطه با تفاضل مجموع قطب‌ها و صفرها در تابع انتقال تقسیم بر تفاضل تعداد کل قطب‌ها و تعداد کل صفرها محاسبه می‌شود. مرکز ثقل همیشه حقیقی است و با σA نشان داده می‌شود.
که در آن N تعداد قطب‌ها و M تعداد صفرها است.خطوط مجانب مکان هندسی ریشه‌ها : خط مجانب از مرکز ثقل یا مرکز ثقل شروع می‌شود و به بینهایت می‌رود با زاویه مشخص. خطوط مجانب جهت مکان هندسی ریشه‌ها را وقتی از نقاط جدایی جدا می‌شوند ارائه می‌دهند.
زاویه خطوط مجانب : خط‌های مجانب با محور حقیقی زاویه‌ای می‌سازند که می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد،
که در آن p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
N تعداد کل قطب‌ها
M تعداد کل صفرها است.زاویه ورود یا خروج : وقتی که قطب‌های مختلط در سیستم وجود دارد، زاویه خروج را محاسبه می‌کنیم. زاویه خروج می‌تواند به صورت 180-{(مجموع زوایا به یک قطب مختلط از قطب‌های دیگر)-(مجموع زوایا به یک قطب مختلط از صفرها)} محاسبه شود.
تقاطع مکان هندسی ریشه‌ها با محور موهومی : برای یافتن نقطه تقاطع مکان هندسی ریشه‌ها با محور موهومی، باید از معیار روث-هرویتز استفاده کنیم. ابتدا معادله کمکی را پیدا می‌کنیم و سپس مقدار متناظر K مقدار نقطه تقاطع را ارائه می‌دهد.
حاشیه بزرگنمایی : حاشیه بزرگنمایی را تعریف می‌کنیم که مقدار طراحی شده عامل بزرگنمایی را می‌توان چند برابر کرد قبل از اینکه سیستم ناپایدار شود. ریاضیاً این مقدار با فرمول زیر ارائه می‌شود
حاشیه فاز : حاشیه فاز را می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد:
تقارن مکان هندسی ریشه‌ها : مکان هندسی ریشه‌ها نسبت به محور x یا محور حقیقی متقارن است.
چگونه مقدار K را در هر نقطه‌ای از مکان هندسی ریشه‌ها تعیین کنیم؟ حالا دو روش برای تعیین مقدار K وجود دارد، هر روش در زیر توضیح داده شده است.
معیار اندازه : در هر نقطه‌ای از مکان هندسی ریشه‌ها می‌توانیم معیار اندازه را به صورت زیر اعمال کنیم،
با استفاده از این فرمول می‌توانیم مقدار K را در هر نقطه‌ای مورد نظر محاسبه کنیم.استفاده از نمودار مکان هندسی ریشه‌ها : مقدار K در هر s روی مکان هندسی ریشه‌ها با فرمول زیر ارائه می‌شود
نمودار مکان هندسی ریشه‌ها
این روش همچنین به عنوان روش مکان هندسی ریشه‌ها در سیستم کنترل شناخته می‌شود و برای تعیین ثبات سیستم داده شده استفاده می‌شود. حالا برای تعیین ثبات سیستم با استفاده از روش مکان هندسی ریشه‌ها، محدوده مقادیر K را پیدا می‌کنیم که عملکرد کامل سیستم رضایت‌بخش خواهد بود و عملکرد پایدار است.
حالا برخی نتایج وجود دارد که باید به یاد داشته باشیم تا نمودار مکان هندسی ریشه‌ها را رسم کنیم. این نتایج در زیر آمده است:
منطقه‌ای که مکان هندسی ریشه‌ها در آن وجود دارد : بعد از رسم همه قطب‌ها و صفرها روی صفحه، می‌توانیم منطقه وجود مکان هندسی ریشه‌ها را با استفاده از یک قاعده ساده که در زیر آمده است، به راحتی پیدا کنیم،
فقط آن بخش در مکان هندسی ریشه‌ها در نظر گرفته می‌شود اگر تعداد کل قطب‌ها و صفرها در سمت راست بخش فرد باشد.چگونه تعداد مکان هندسی‌های جداگانه را محاسبه کنیم؟ : تعداد مکان هندسی‌های جداگانه برابر با تعداد کل ریشه‌ها است اگر تعداد ریشه‌ها بیشتر از تعداد قطب‌ها باشد، در غیر این صورت تعداد مکان هندسی‌های جداگانه برابر با تعداد کل قطب‌ها است اگر تعداد ریشه‌ها بیشتر از تعداد صفرها باشد.
روند رسم نمودار مکان هندسی ریشه‌ها
با توجه به همه این نکات، قادر خواهیم بود نمودار مکان هندسی ریشه‌ها برای هر نوع سیستمی را رسم کنیم. حالا بیایید روند رسم نمودار مکان هندسی ریشه‌ها را بحث کنیم.
تمام ریشه‌ها و قطب‌ها را از تابع انتقال حلقه باز پیدا کنید و آنها را روی صفحه مختلط رسم کنید.
تمام مکان هندسی‌ها از قطب‌ها شروع می‌شوند که k = 0 است و در صفرها پایان می‌یابند که K به بینهایت میل می‌کند.
