تقنية موضع الجذور في نظام التحكم | رسم موضع الجذور

تم تقديم تقنية موضع الجذر في أنظمة التحكم لأول مرة في عام 1948 بواسطة إيفانز. يتم تمثيل أي نظام فيزيائي بوظيفة نقل على شكل

يمكننا العثور على الأقطاب والصفراء من G(s). يعتبر موقع الأقطاب والصفراء حاسمًا من حيث الاستقرار والاستقرار النسبي والاستجابة العابرة وتحليل الخطأ. عندما يتم تشغيل النظام، تدخل السعة والقدرة الغريبة إلى النظام، وبالتالي تتغير مواقع الأقطاب والصفراء. في تقنية موضع الجذر في أنظمة التحكم سنقوم بتقييم وضع الجذور وموقع حركتها والمعلومات المرتبطة بها. ستُستخدم هذه المعلومات للتعليق على أداء النظام.
الآن قبل أن أقدم ما هي تقنية موضع الجذر، من الضروري جدًا هنا مناقشة بعض المزايا لهذه التقنية مقارنة مع معايير الاستقرار الأخرى. بعض مزايا تقنية موضع الجذر مكتوبة أدناه.

مزايا تقنية موضع الجذر

1. تقنية موضع الجذر في أنظمة التحكم سهلة التنفيذ مقارنة بالطرق الأخرى.

2. مع مساعدة تقنية موضع الجذر يمكننا بسهولة التنبؤ بأداء النظام كله.

3. توفر تقنية موضع الجذر طريقة أفضل لتقديم المؤشرات.

هناك العديد من المصطلحات المتعلقة بتقنية موضع الجذر التي سنستخدمها بشكل متكرر في هذا المقال.

1. المعادلة المميزة المتعلقة بتقنية موضع الجذر : 1 + G(s)H(s) = 0 تعرف باسم المعادلة المميزة. الآن عن طريق تفاضل المعادلة المميزة وإعداد dk/ds يساوي الصفر، يمكننا الحصول على نقاط الانفصال.

2. نقاط الانفصال : افترض أن موضعين من موضع الجذر يبدأان من القطب ويتحركان في اتجاهين متعاكسين يتلاشيان معًا بحيث بعد التلاشي يبدأان في التحرك بطريقة متناظرة. أو نقاط الانفصال التي يحدث فيها جذور متعددة للمعادلة المميزة 1 + G(s)H(s) = 0. يكون قيمة K أعلى عند النقاط التي تنفصل فيها فروع موضع الجذر. قد تكون نقاط الانفصال حقيقية أو تخيلية أو معقدة.

3. نقاط الدخول : تُكتب حالة وجود الدخول على الرسم أدناه : يجب أن يكون موضع الجذر موجودًا بين صفرتين متجاورتين على المحور الحقيقي.

4. مركز الثقل : يُعرف أيضًا باسم المركز الهندسي وهو محدد كنقطة على الرسم من حيث تبدأ جميع الخطوط المتقاربة. رياضيًا، يتم حسابه من خلال الفرق بين مجموع القطبين والصفراء في وظيفة النقل عند قسمته على الفرق بين عدد القطبين الكلي وعدد الصفراء الكلي. يكون مركز الثقل دائمًا حقيقيًا ويُرمز إليه بـ σA.
   
   حيث N هو عدد القطبين وM هو عدد الصفراء.

5. الخطوط المتقاربة لموضع الجذر : تنطلق الخطوط المتقاربة من مركز الثقل أو المركز الهندسي وتتجه إلى اللانهاية بزاوية محددة. توفر الخطوط المتقاربة اتجاهًا لموضع الجذر عند مغادرتها نقاط الانفصال.

6. زاوية الخطوط المتقاربة : تشكل الخطوط المتقاربة زاوية مع المحور الحقيقي ويمكن حساب هذه الزاوية من خلال المعادلة التالية،
   
   حيث p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N هو العدد الكلي للقطبين
   M هو العدد الكلي للصفراء.

7. زاوية الوصول أو المغادرة : نحسب زاوية المغادرة عندما يوجد قطبين معقدة في النظام. يمكن حساب زاوية المغادرة كـ 180-{(مجموع الزوايا إلى قطب معقد من القطبين الآخرين)-(مجموع الزوايا إلى قطب معقد من الصفراء)}.

8. تقاطع موضع الجذر مع المحور التخيلي : للعثور على نقطة التقاطع لموضع الجذر مع المحور التخيلي، يجب استخدام معيار روث هورويتز. أولاً، نجد المعادلة المساعدة ثم قيمة K المقابلة ستعطي قيمة نقطة التقاطع.

9. هامش المكسب : نعرّف هامش المكسب بأنه العامل الذي يمكن ضرب قيمة تصميم المكسب به قبل أن يصبح النظام غير مستقر. رياضيًا يتم إعطاؤه بواسطة المعادلة
   

10. هامش الطور : يمكن حساب هامش الطور من خلال المعادلة التالية:
    

11. تقارن موضع الجذر : موضع الجذر متناظر حول المحور x أو المحور الحقيقي.

كيف يمكن تحديد قيمة K عند أي نقطة على موضع الجذر؟ هناك طريقتان لتحديد قيمة K، كل طريقة موضحة أدناه.

1. معايير المقدار : في أي نقطة على موضع الجذر يمكننا تطبيق معايير المقدار كما يلي،
   
   باستخدام هذه المعادلة يمكننا حساب قيمة K عند أي نقطة مطلوبة.

2. باستخدام رسم موضع الجذر : قيمة K عند أي s على موضع الجذر تعطى بواسطة
   

رسم موضع الجذر

يُعرف أيضًا باسم تقنية موضع الجذر في أنظمة التحكم ويُستخدم لتحديد استقرار النظام المعطى. الآن لتحديد استقرار النظام باستخدام تقنية موضع الجذر نجد نطاق قيم K والتي سيكون فيها أداء النظام كله مرضيًا والعمل مستقرًا.
هناك بعض النتائج التي يجب تذكرها لرسم موضع الجذر. هذه النتائج مكتوبة أدناه:

1. منطقة وجود موضع الجذر : بعد رسم جميع القطبين والصفراء على المستوى، يمكننا بسهولة العثور على منطقة وجود موضع الجذر باستخدام قاعدة بسيطة مكتوبة أدناه،
   سيتم اعتبار فقط ذلك الجزء في رسم موضع الجذر إذا كان العدد الكلي للقطبين والصفراء على الجانب الأيمن من الجزء غريبًا.

2. كيفية حساب عدد موضع الجذر المنفصلة ؟ : عدد موضع الجذر المنفصلة يساوي العدد الكلي للجذور إذا كان عدد الجذور أكبر من عدد القطبين، وإلا فإن عدد موضع الجذر المنفصلة يساوي العدد الكلي للقطبين إذا كان عدد الجذور أكبر من عدد الصفراء.

إجراء رسم موضع الجذر

بأخذ جميع هذه النقاط في الاعتبار، نستطيع رسم رسم موضع الجذر لأي نوع من الأنظمة. دعونا الآن نناقش إجراء رسم موضع الجذر.

1. اعثر على جميع الجذور والأقطاب من وظيفة النقل المفتوحة ثم رسمها على المستوى المعقد.

2. جميع موضع الجذر يبدأ من الأقطاب حيث k = 0 ويختتم عند الصفراء حيث K يتجه إلى اللانهاية. عدد الفروع التي تنتهي في اللانهاية يساوي الفرق بين عدد القطبين وعدد الصفراء من G(s)H(s).

3. احسب منطقة وجود موضع الجذر من الطريقة المذكورة أعلاه بعد العثور على قيم M و N.

4. احسب نقاط الانفصال ونقاط الدخول إن وجدت.

5. ارسم الخطوط المتقاربة ونقطة المركز الهندسي على المستوى المعقد لموضع الجذر عن طريق حساب ميل الخطوط المتقاربة.

6. الآن احسب زاوية المغادرة وتقاطع موضع الجذر مع المحور التخيلي.

7. الآن حدد قيمة K باستخدام أي طريقة من الوصف أعلاه.

   بمتابعة الإجراء السابق يمكنك بسهولة رسم رسم موضع الجذر لأي وظيفة نقل مفتوحة.

8. احسب هامش المكسب.

9. احسب هامش الطور.

10. يمكنك بسهولة التعليق على استقرار النظام باستخدام صفيف روث.

بيان: احترم الأصل، المقالات الجيدة مستحقة النشر، إذا كان هناك انتهاك للحقوق يرجى الاتصال لحذف.