제어 시스템에서의 근궤적 기법 | 근궤적 도표

제어 시스템에서의 근궤적 기법은 1948년 Evans에 의해 처음 도입되었습니다. 모든 물리 시스템은 다음과 같은 전달 함수 형태로 표현됩니다.

G(s)로부터 극점과 영점을 찾을 수 있습니다. 극점과 영점의 위치는 안정성, 상대 안정성, 과도응답 및 오차 분석 측면에서 중요합니다. 시스템이 작동할 때 끼임 인덕턴스와 커패시턴스가 시스템에 들어가서 극점과 영점의 위치를 변경합니다. 제어 시스템에서의 근궤적 기법에서는 근의 위치, 그들의 이동 궤적 및 관련 정보를 평가합니다. 이러한 정보는 시스템 성능에 대한 의견을 제시하는 데 사용됩니다.
근궤적 기법이 무엇인지 소개하기 전에, 이 기법이 다른 안정성 기준보다 가지는 몇 가지 장점에 대해 논의하는 것이 매우 중요합니다. 근궤적 기법의 일부 장점은 아래에 나열되어 있습니다.

근궤적 기법의 장점

1. 제어 시스템에서의 근궤적 기법은 다른 방법들에 비해 구현하기 쉽습니다.

2. 근궤적을 통해 전체 시스템의 성능을 쉽게 예측할 수 있습니다.

3. 근궤적은 매개변수를 표시하는 더 나은 방법을 제공합니다.

이제 본 기사에서 자주 사용할 근궤적 기법과 관련된 다양한 용어들이 있습니다.

1. 근궤적 기법과 관련된 특성 방정식 : 1 + G(s)H(s) = 0은 특성 방정식으로 알려져 있습니다. 이제 특성 방정식을 미분하고 dk/ds를 0으로 설정하면, 분기점(break away points)을 얻을 수 있습니다.

2. 분기점(Break away Points) : 극점에서 시작하여 서로 반대 방향으로 움직이는 두 개의 근궤적이 충돌한 후 대칭적으로 다른 방향으로 움직이게 되는 점. 또는 특성 방정식 1 + G(s)H(s) = 0의 다중 근이 발생하는 분기점. 분기점에서 근궤적의 가지가 분리되는 지점에서 K의 값이 최대입니다. 분기점은 실수, 허수 또는 복소수일 수 있습니다.

3. 분기 진입점(Break in Point) : 다음 조건이 충족되면 분기 진입점이 플롯에 나타납니다:
   실축 상의 두 인접한 영점 사이에 근궤적이 있어야 합니다..

4. 중심(Centre of Gravity) : 이는 중심점이라고도 하며, 모든 점근선이 시작되는 플롯의 지점을 의미합니다. 수학적으로, 이는 전달 함수에서 극점과 영점의 합의 차를 극점의 총 수와 영점의 총 수의 차로 나눈 값으로 계산됩니다. 중심은 항상 실수이며, σA로 표시됩니다.
   
   여기서, N은 극점의 수이고 M은 영점의 수입니다.

5. 근궤적의 점근선(Asymptotes of Root Loci) : 점근선은 중심점이나 중심에서 시작하여 특정 각도로 무한대로 향합니다. 점근선은 근궤적이 분기점에서 이탈할 때 방향을 제공합니다.

6. 점근선의 각도(Angle of Asymptotes) : 점근선은 실축과 일정한 각도를 이루며, 다음 공식으로 이를 계산할 수 있습니다:
   
   여기서, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N은 극점의 총 수
   M은 영점의 총 수입니다.

7. 도착각 또는 출발각(Angle of Arrival or Departure) : 시스템에 복소 극점이 존재할 때 출발각을 계산합니다. 출발각은 180-{(다른 극점들로부터 복소 극점까지의 각도의 합)-(영점들로부터 복소 극점까지의 각도의 합)}으로 계산됩니다.

8. 근궤적과 허수축의 교차점(Intersection of Root Locus with the Imaginary Axis) : 허수축과 근궤적의 교차점을 찾기 위해 Routh-Hurwitz 기준을 사용해야 합니다. 먼저 보조 방정식을 찾고, 해당 K 값이 교차점의 값을 제공합니다.

9. 이득 여유(Gain Margin) : 시스템이 불안정해지기 전에 설계된 이득 요소 값이 곱해질 수 있는 범위를 정의합니다. 수학적으로 다음 공식으로 주어집니다:
   

10. 위상 여유(Phase Margin) : 다음 공식으로 위상 여유를 계산할 수 있습니다:
    

11. 근궤적의 대칭성(Symmetry of Root Locus) : 근궤적은 x축 또는 실축에 대해 대칭입니다.

근궤적의 임의의 점에서 K의 값을 어떻게 결정하나요? K의 값을 결정하는 두 가지 방법이 있으며, 각 방법은 아래에 설명되어 있습니다.

1. 크기 기준(Magnitude Criteria) : 근궤적의 임의의 점에서 크기 기준을 적용할 수 있습니다:
   
   이 공식을 사용하여 원하는 임의의 점에서 K의 값을 계산할 수 있습니다.

2. 근궤적 플롯 사용 : 근궤적의 임의의 s에서 K의 값은 다음과 같습니다:
   

근궤적 플롯

이는 또한 제어 시스템에서의 근궤적 기법으로 알려져 있으며, 주어진 시스템의 안정성을 결정하는 데 사용됩니다. 이제 근궤적 기법을 사용하여 시스템의 안정성을 결정하기 위해서는 시스템의 전체 성능이 만족스럽고 운영이 안정적인 K 값의 범위를 찾아야 합니다.
근궤적을 작성하기 위해 기억해야 할 몇 가지 결과가 있습니다. 이러한 결과는 아래에 나열되어 있습니다:

1. 근궤적이 존재하는 영역 : 모든 극점과 영점을 복소평면에 플롯한 후, 다음 간단한 규칙을 사용하여 근궤적이 존재하는 영역을 쉽게 찾을 수 있습니다:
   구간의 오른쪽에 있는 극점과 영점의 총수가 홀수인 경우만 해당 구간이 근궤적을 형성합니다.

2. 별도의 근궤적의 수를 어떻게 계산하나요? : 별도의 근궤적의 수는 극점의 수가 영점의 수보다 클 경우 극점의 총 수와 같으며, 그렇지 않으면 영점의 총 수와 같습니다.

근궤적 플롯 절차

이러한 점들을 모두 고려하여 어떤 종류의 시스템에 대해서든 근궤적 플롯을 그릴 수 있습니다. 이제 근궤적을 그리는 절차에 대해 논의해보겠습니다.

1. 오픈루프 전달 함수에서 모든 극점과 영점을 찾아 복소평면에 플롯합니다.

2. 모든 근궤적은 k = 0인 극점에서 시작하여 K가 무한대로 가는 영점에서 종료됩니다. 근궤적의 가지가 무한대로 향하는 수는 G(s)H(s)의 극점과 영점의 수의 차와 같습니다.

3. M과 N의 값을 찾은 후 위에서 설명한 방법을 사용하여 근궤적이 존재하는 영역을 찾습니다.

4. 분기점과 분기 진입점을 계산합니다(있는 경우).

5. 점근선의 기울기를 계산하여 복소평면에 점근선과 중심점을 플롯합니다.

6. 출발각과 근궤적이 허수축과 만나는 지점을 계산합니다.

7. 위에서 설명한 방법 중 하나를 사용하여 K의 값을 결정합니다.

   위의 절차를 따르면 어떤 오픈루프 전달 함수에 대해서든 근궤적 플롯을 쉽게 그릴 수 있습니다.

8. 이득 여유를 계산합니다.

9. 위상 여유를 계산합니다.

10. Routh 배열을 사용하여 시스템의 안정성을 쉽게 평가할 수 있습니다.

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