Техника годографа корней в системе управления | Годограф корней

Метод корневого годографа в системе управления был впервые представлен в 1948 году Эвансом. Любая физическая система представляется передаточной функцией в виде

Мы можем найти полюса и нули из G(s). Расположение полюсов и нулей является критически важным для устойчивости, относительной устойчивости, переходного процесса и анализа ошибок. Когда система вводится в эксплуатацию, паразитные индуктивность и емкость попадают в систему, что изменяет положение полюсов и нулей. В методе корневого годографа в системе управления мы оценим положение корней, их траекторию движения и связанную с этим информацию. Эти данные будут использоваться для комментариев о производительности системы.
Прежде чем я представлю, что такое метод корневого годографа, крайне важно обсудить некоторые преимущества этого метода по сравнению с другими критериями устойчивости. Некоторые из преимуществ метода корневого годографа приведены ниже.

Преимущества метода корневого годографа

1. Метод корневого годографа в системе управления проще реализовать по сравнению с другими методами.

2. С помощью корневого годографа можно легко предсказать производительность всей системы.

3. Корневой годограф предоставляет лучший способ указания параметров.

Теперь есть различные термины, связанные с методом корневого годографа, которые мы будем часто использовать в этой статье.

1. Характеристическое уравнение, связанное с методом корневого годографа : 1 + G(s)H(s) = 0 известно как характеристическое уравнение. Теперь, дифференцируя характеристическое уравнение и приравнивая dk/ds к нулю, мы можем получить точки отрыва.

2. Точки отрыва : Предположим, два корневых годографа, которые начинаются от полюсов и движутся в противоположных направлениях, сталкиваются друг с другом таким образом, что после столкновения они начинают двигаться в разных направлениях симметрично. Или точки отрыва, на которых возникают множественные корни характеристического уравнения 1 + G(s)H(s) = 0. Значение K максимально в точках, где ветви корневого годографа отрываются. Точки отрыва могут быть вещественными, мнимыми или комплексными.

3. Точки входа : Условие наличия точек входа на графике записано ниже : Корневой годограф должен находиться между двумя соседними нулями на вещественной оси.

4. Центр тяжести : Также известен как центроид и определяется как точка на графике, откуда начинаются все асимптоты. Математически он вычисляется как разница сумм полюсов и нулей в передаточной функции, деленная на разницу общего числа полюсов и общего числа нулей. Центр тяжести всегда вещественный и обозначается σA.
   
   Где N - число полюсов, M - число нулей.

5. Асимптоты корневого годографа : Асимптоты исходят из центра тяжести или центроида и уходят к бесконечности под определенным углом. Асимптоты предоставляют направление корневому годографу, когда он отходит от точек отрыва.

6. Угол асимптот : Асимптоты образуют некоторый угол с вещественной осью, и этот угол можно вычислить по следующей формуле,
   
   Где p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N - общее число полюсов
   M - общее число нулей.

7. Угол прибытия или ухода : Мы вычисляем угол ухода, когда в системе существуют комплексные полюса. Угол ухода можно вычислить как 180-{(сумма углов к комплексному полюсу от других полюсов)-(сумма углов к комплексному полюсу от нулей)}.

8. Пересечение корневого годографа с мнимой осью : Чтобы найти точку пересечения корневого годографа с мнимой осью, необходимо использовать критерий Рауса-Гурвица. Сначала мы находим вспомогательное уравнение, затем соответствующее значение K даст значение точки пересечения.

9. Запас устойчивости по амплитуде : Мы определяем запас устойчивости по амплитуде, как величину, на которую можно умножить проектное значение коэффициента усиления, прежде чем система станет неустойчивой. Математически это задается формулой
   

10. Запас устойчивости по фазе : Запас устойчивости по фазе можно вычислить по следующей формуле:
    

11. Симметрия корневого годографа : Корневой годограф симметричен относительно оси X или вещественной оси.

Как определить значение K в любой точке корневого годографа? Есть два способа определения значения K, каждый из которых описан ниже.

1. Критерий модуля : В любой точке корневого годографа мы можем применить критерий модуля, как
   
   Используя эту формулу, мы можем вычислить значение K в любой желаемой точке.

2. Использование графика корневого годографа : Значение K в любой точке s на корневом годографе задается
   

График корневого годографа

Это также известно как метод корневого годографа в системе управления и используется для определения устойчивости данной системы. Чтобы определить устойчивость системы с помощью метода корневого годографа, мы находим диапазон значений K, при которых полная производительность системы будет удовлетворительной, и операция будет устойчивой.
Существуют некоторые результаты, которые следует помнить, чтобы построить корневой годограф. Эти результаты приведены ниже:

1. Регион, где существует корневой годограф : После построения всех полюсов и нулей на плоскости, мы можем легко определить регион существования корневого годографа, используя одно простое правило, которое приведено ниже,
   Только тот сегмент будет учитываться при построении корневого годографа, если общее количество полюсов и нулей справа от сегмента нечетное.

2. Как рассчитать количество отдельных корневых годографов ? : Количество отдельных корневых годографов равно общему количеству корней, если количество корней больше, чем количество полюсов, в противном случае количество отдельных корневых годографов равно общему количеству полюсов, если количество корней больше, чем количество нулей.

Процедура построения корневого годографа

Учитывая все эти моменты, мы можем построить график корневого годографа для любого типа системы. Давайте теперь обсудим процедуру построения корневого годографа.

1. Найдите все корни и полюса из открытой петлевой передаточной функции и затем постройте их на комплексной плоскости.

2. Все корневые годографы начинаются от полюсов, где k = 0, и заканчиваются в нулях, где K стремится к бесконечности. Количество ветвей, заканчивающихся в бесконечности, равно разности между количеством полюсов и количеством нулей G(s)H(s).

3. Определите регион существования корневых годографов, используя метод, описанный выше, после нахождения значений M и N.

4. Рассчитайте точки отрыва и точки входа, если таковые имеются.

5. Постройте асимптоты и центроид на комплексной плоскости для корневых годографов, вычислив угол асимптот.

6. Теперь рассчитайте угол ухода и пересечение корневых годографов с мнимой осью.

7. Теперь определите значение K, используя один из методов, которые я описал выше.

   Следуя вышеописанной процедуре, вы можете легко построить график корневого годографа для любой открытой петлевой передаточной функции.

8. Рассчитайте запас устойчивости по амплитуде.

9. Рассчитайте запас устойчивости по фазе.

10. Вы можете легко прокомментировать устойчивость системы, используя массив Рауса.

Заявление: Уважайте оригинальные, хорошие статьи стоят делиться, если есть нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.