Technika kořenového místa v řídicím systému | Graf kořenového místa

Technika kořenového místa v systému řízení byla poprvé představena v roce 1948 Evansem. Jakýkoli fyzický systém je reprezentován přenosovou funkcí ve tvaru

Z G(s) můžeme najít póly a nuly. Poloha pólů a nul je klíčová pro stabilitu, relativní stabilitu, přechodovou odezvu a analýzu chyb. Když je systém nasazen, do něj se dostanou cizí induktance a kapacity, což změní polohu pólů a nul. V technice kořenového místa v systému řízení vyhodnotíme polohu kořenů, jejich dráhu pohybu a související informace. Tyto informace budou použity k hodnocení výkonu systému.
Nyní, než představím, co je technika kořenového místa, je zde velmi důležité diskutovat o některých výhodách této techniky nad jinými kritérii stability. Některé výhody techniky kořenového místa jsou uvedeny níže.

Výhody techniky kořenového místa

1. Technika kořenového místa v systému řízení je snazší na implementaci než jiné metody.

2. S pomocí kořenového místa můžeme snadno předpovědět výkon celého systému.

3. Kořenové místo poskytuje lepší způsob indikace parametrů.

Nyní existuje mnoho termínů souvisejících s technikou kořenového místa, které v tomto článku často použijeme.

1. Charakteristická rovnice související s technikou kořenového místa : 1 + G(s)H(s) = 0 je známá jako charakteristická rovnice. Teď, když rozlišujeme charakteristickou rovnici a rovnáme dk/ds nule, můžeme získat body odtržení.

2. Body odtržení : Předpokládejme, že dva kořenové loky, které začínají od pólu a pohybují se v opačném směru, do sebe narážejí tak, že po srážce začnou pohybovat různými směry symetricky. Nebo body odtržení, kde se vyskytují více kořenů charakteristické rovnice 1 + G(s)H(s) = 0. Hodnota K je maximální v bodech, kde větve kořenového místa odtrhnou. Body odtržení mohou být reálné, imaginární nebo komplexní.

3. Body spojení : Podmínka pro existence bodu spojení na grafu je uvedena níže : Kořenové místo musí být mezi dvěma sousedními nulami na reálné ose.

4. Střed těžiště : Je také známý jako centroid a definován jako bod na grafu, ze kterého začínají všechny asymptoty. Matematicky se vypočítá rozdílem součtu pólů a nul v přenosové funkci, když je vydělen rozdílem celkového počtu pólů a celkového počtu nul. Střed těžiště je vždy reálný a označuje se σA.
   
   Kde N je počet pólů a M je počet nul.

5. Asymptoty kořenových lokačních křivek : Asymptota pochází ze středu těžiště nebo centroidu a směřuje k nekonečnu pod určitým úhlem. Asymptoty poskytují směr kořenovému místu, když opouštějí body odtržení.

6. Úhel asymptot : Asymptoty svírají nějaký úhel s reálnou osou a tento úhel lze vypočítat z daného vzorce,
   
   Kde, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N je celkový počet pólů
   M je celkový počet nul.

7. Úhel odchodu nebo příchodu : Vypočítáváme úhel odchodu, když v systému existují komplexní póly. Úhel odchodu lze vypočítat jako 180-{(součet úhlů k komplexnímu pólu od ostatních pólů)-(součet úhlů k komplexnímu pólu od nul)}.

8. Průsečík kořenového místa s imaginární osou : Pro nalezení průsečíku kořenového místa s imaginární osou musíme použít Routh-Hurwitzovo kritérium. Nejprve najdeme pomocnou rovnici, pak odpovídající hodnota K dá hodnotu průsečíku.

9. Pásmo zisku : Definujeme pásmo zisku, jakým lze násobit návrhovou hodnotu faktoru zisku, než se systém stane nestabilní. Matematicky je dáno vzorcem
   

10. Fázové pásmo : Fázové pásmo lze vypočítat z daného vzorce:
    

11. Symetrie kořenového místa : Kořenové místo je symetrické vzhledem k x ose nebo reálné ose.

Jak určit hodnotu K v libovolném bodě na kořenovém místě? Nyní existují dva způsoby, jak určit hodnotu K, každý způsob je popsán níže.

1. Kritérium velikosti : V libovolném bodě na kořenovém místě můžeme použít kritérium velikosti jako,
   
   Pomocí tohoto vzorce můžeme vypočítat hodnotu K v libovolném požadovaném bodě.

2. Pomocí grafu kořenového místa : Hodnota K v libovolném s na kořenovém místě je dána
   

Graf kořenového místa

Toto je také známé jako technika kořenového místa v systému řízení a používá se k určení stability daného systému. Nyní, abychom určili stabilitu systému pomocí techniky kořenového místa, najdeme rozsah hodnot K, pro které bude výkon systému uspokojivý a provoz stabilní.
Nyní existují některé výsledky, které by měl každý pamatovat, aby nakreslil kořenové místo. Tyto výsledky jsou uvedeny níže:

1. Oblast, kde existuje kořenové místo : Po zakreslení všech pólů a nul na rovinu můžeme snadno najít oblast existence kořenového místa pomocí jednoduchého pravidla, které je uvedeno níže,
   Pouze ten segment bude zahrnut do kořenového místa, pokud je celkový počet pólů a nul na pravé straně segmentu lichý.

2. Jak vypočítat počet samostatných kořenových míst ? : Počet samostatných kořenových míst je roven celkovému počtu kořenů, pokud je počet kořenů větší než počet pólů, jinak počet samostatných kořenových míst je roven celkovému počtu pólů, pokud je počet kořenů větší než počet nul.

Postup pro kreslení kořenového místa

Maje na paměti všechny tyto body, můžeme nakreslit graf kořenového místa pro jakýkoli systém. Nyní si představme postup pro kreslení kořenového místa.

1. Zjistěte všechny kořeny a póry z otevřené přenosové funkce a pak je zakreslete na komplexní rovinu.

2. Všechna kořenová místa začínají od pólů, kde k = 0, a končí u nul, kde K tenduje k nekonečnu. Počet větví končících v nekonečnu se rovná rozdílu mezi počtem pólů a počtem nul G(s)H(s).

3. Zjistěte oblast existence kořenových míst podle popsané metody poté, co najdete hodnoty M a N.

4. Vypočítejte body odtržení a body spojení, pokud existují.

5. Zakreslete asymptoty a bod středu těžiště na komplexní rovině pro kořenové místo vypočítáním sklonu asymptot.

6. Nyní vypočítejte úhel odchodu a průsečík kořenového místa s imaginární osou.

7. Nyní určete hodnotu K pomocí kterékoli metody, kterou jsem popsal výše.

   Postupem uvedeným výše můžete snadno nakreslit graf kořenového místa pro jakoukoli otevřenou přenosovou funkci.