Техніка кореневої локуси в системі керування | Діаграма кореневої локуси

Техніка кореневого місця в системі керування була вперше представлена в 1948 році Евансом. Будь-яка фізична система представляється передаточною функцією у формі

Ми можемо знайти полюси та нулі з G(s). Місце розташування полюсів і нулів є важливим для стабільності, відносної стабільності, перехідного процесу та аналізу помилок. Коли система вводиться в експлуатацію, випадкові індуктивність та ємність потрапляють до системи, таким чином змінюючи розташування полюсів і нулів. У техніці кореневого місця в системі керування ми оцінимо положення коренів, їхню лінію переміщення та пов'язану інформацію. Ця інформація буде використана для коментарів щодо продуктивності системи.
Перед тим, як я представлю, що таке техніка кореневого місця, дуже важливо обговорити деякі переваги цієї техніки над іншими критеріями стабільності. Деякі переваги техніки кореневого місця наведено нижче.

Переваги техніки кореневого місця

1. Техніка кореневого місця в системі керування простіша для реалізації порівняно з іншими методами.

2. З допомогою кореневого місця ми можемо легко передбачити продуктивність всієї системи.

3. Кореневе місце надає кращий спосіб вказування параметрів.

Тепер є ряд термінів, пов'язаних з технікою кореневого місця, які ми будемо часто використовувати в цій статті.

1. Характеристичне рівняння, пов'язане з технікою кореневого місця : 1 + G(s)H(s) = 0 відоме як характеристичне рівняння. Тепер, продиференціювавши характеристичне рівняння та прирівнявши dk/ds до нуля, ми можемо отримати точки розриву.

2. Точки розриву : Припустимо, що два кореневі місця, які починаються від полюсу та рухаються в протилежному напрямку, зіткнулися один з одним, так що після зіткнення вони починають рухатися в різних напрямках симетрично. Або точки розриву, на яких множинні корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0 з'являються. Значення K максимальне в точках, де гілки кореневого місця розриваються. Точки розриву можуть бути дійсними, уявними або комплексними.

3. Точки входження : Умова для присутності точок входження на графіку наведена нижче : Кореневе місце має бути присутнім між двома суміжними нулями на дійсній осі.

4. Центр мас : Він також відомий як центр і визначається як точка на графіку, з якої починуються всі асимптоти. Математично, він обчислюється за різниці суми полюсів і нулів в передатній функції, поділеної на різницю загальної кількості полюсів і загальної кількості нулів. Центр мас завжди дійсний і позначається σA.
   
   Де N - кількість полюсів, M - кількість нулів.

5. Асимптоти кореневих місць : Асимптота походить від центру мас або центру і йде до нескінченності під певним кутом. Асимптоти надають напрямок кореневому місцю, коли вони відходять від точок розриву.

6. Кут асимптот : Асимптоти утворюють певний кут з дійсною віссю, і цей кут можна обчислити за формулою,
   
   Де p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)
   N - загальна кількість полюсів
   M - загальна кількість нулів.

7. Кут входження або виходу : Ми обчислюємо кут виходу, коли в системі існують комплексні полюси. Кут виходу можна обчислити як 180-{(сума кутів до комплексного полюса від інших полюсів)-(сума кутів до комплексного полюса від нулів)}.

8. Перетин кореневого місця з уявною віссю : Щоб знайти точку перетину кореневого місця з уявною віссю, ми повинні використовувати критерій Рауса-Гурвіца. Спочатку ми знаходимо допоміжне рівняння, а потім відповідне значення K дає значення точки перетину.

9. Маржа збільшення : Ми визначаємо маржу збільшення як значення коефіцієнта збільшення, яке можна помножити на проектне значення, перш ніж система стане нестабільною. Математично це задається формулою
   

10. Фазова маржа : Фазова маржа може бути обчислена за формулою:
    

11. Симетрія кореневого місця : Кореневе місце симетричне відносно осі x або дійсної осі.

Як визначити значення K в будь-якій точці кореневого місця? Тепер є два способи визначення значення K, кожен з них описаний нижче.

1. Критерій модуля : В будь-якій точці кореневого місця ми можемо застосувати критерій модуля як,
   
   Використовуючи цю формулу, ми можемо обчислити значення K в будь-якій бажаній точці.

2. Використання графіка кореневого місця : Значення K в будь-якій точці s на кореневому місці визначається як
   

Графік кореневого місця

Це також відомо як техніка кореневого місця в системі керування і використовується для визначення стабільності даної системи. Тепер, щоб визначити стабільність системи за допомогою техніки кореневого місця, ми знаходимо діапазон значень K, для яких повна продуктивність системи буде задовільною, а операція буде стабільною.
Тепер є деякі результати, які слід пам'ятати, щоб побудувати кореневе місце. Ці результати наведено нижче:

1. Регіон, де існує кореневе місце : Після побудови всіх полюсів і нулів на площині, ми можемо легко визначити регіон існування кореневого місця, використовуючи одне просте правило, яке наведено нижче,
   Лише той сегмент буде врахований при побудові кореневого місця, якщо загальна кількість полюсів і нулів праворуч від сегмента непарна.

2. Як обчислити кількість окремих кореневих місць ? : Кількість окремих кореневих місць дорівнює загальній кількості коренів, якщо кількість коренів більша за кількість полюсів, інакше кількість окремих кореневих місць дорівнює загальній кількості полюсів, якщо кількість коренів більша за кількість нулів.

Процедура побудови кореневого місця

Залишаючи на увазі всі ці пункти, ми зможемо побудувати графік кореневого місця для будь-якого виду системи. Тепер давайте обговоримо процедуру побудови кореневого місця.

1. Знайдіть всі корені та полюси з відкритої петлі передатної функції, а потім побудуйте їх на комплексній площині.

2. Всі кореневі місця починаються від полюсів, де k = 0, і закінчуються в нулях, де K прямує до нескінченності. Кількість гілок, що закінчуються в нескінченності, дорівнює різниці мі