Pamantayan na Kamalian: Ano ito? (Pamantayang Pagkakamali, Halaga & Pormula)

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang Steady State Error

Ano ang Steady State Error?

Ang steady-state error ay inilalarawan bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng kinakailangang halaga at aktwal na halaga ng output ng isang sistema sa limitasyon habang ang oras ay papunta sa walang hanggan (i.e. kapag ang tugon ng sistema ng kontrol ay umabot na sa steady-state).

Ang steady-state error ay isang katangian ng input/output response para sa isang linear na sistema. Sa pangkalahatan, isang mabuting sistema ng kontrol ay iyon na may mababang steady-state error.

Una, pag-uusapan natin ang steady-state error sa isang unang-order transfer function sa pamamagitan ng pagsusuri ng kanyang steady state response. Tignan natin ang sumusunod na transfer function:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Ito ay isang simple unang order transfer function, na may gain na pantay sa isa at time constant na 0.7 segundo. Tandaan na ito ay tinatawag na unang-order transfer function dahil ang 's' sa denominator ay may pinakamataas na lakas na '1'. Kung ito ay $0.7s^2 + 1$ , ito ay magiging ikalawang order transfer function.

Ang tugon ng transfer function na ito sa isang steady-state input ay ipinapakita sa Figure-1. Makikita na sa steady-state, ang output ay eksaktong pantay sa input. Kaya ang steady-state error ay zero.

Sagot ng Unang Order na Transfer Function sa Step Input. — Larawan-1: Ito ang sagot ng Unang Order na Transfer Function sa Step Input. Makikita na ang steady state error ay zero

Ang sagot ng function na ito sa unit ramp input ay ipinapakita sa Larawan-2. Makikita na may pagkakaiba sa steady-state sa pagitan ng input at output. Kaya para sa unit ramp input, mayroong steady-state error.

Sagot ng Unang Order na Transfer Function sa Ramp Input. — Larawan-2: Ito ang sagot ng Unang Order na Transfer Function sa Ramp Input. Makikita na may steady state error sa kasong ito

Tandaan na sa maraming libro ng control system, makikita na ang steady-state error ng unang order transfer function laban sa ramp input ay katumbas ng time constant. Sa pagsusuri ng Larawan-2 sa itaas, makikita natin na ito ay totoo. Sa t = 3 segundo, ang input ay 3 habang ang output ay 2.3. Kaya ang steady-state error ay 0.7, na katumbas ng time constant para sa unang order transfer function na ito.

Pakiusap na tandaan ang mga mahalagang paalala na ito:

Ang steady-state error ay pinakamataas kung ang input ay parabolic, karaniwang mas mababa para sa ramp input, at mas mababa pa para sa step input. Tulad ng ipinaliwanag sa itaas, ang steady-state error ay zero laban sa step input, at 0.7 laban sa ramp input, at makikita na ito ay ∞ laban sa parabolic input.
Dapat tandaan na ang steady-state error ay depende sa input, habang ang stability ay hindi depende sa input.

Isaalang-alang natin ang isang saradong loop na sistema ng kontrol na may punsiyon ng transfer

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Kung saan ang mga simbolo ay may kanilang karaniwang kahulugan. Ang estabilidad ng sistema ay depende sa denominator o '1+G(s)H(s)'. Ang '1+G(s)H(s) = 0' ay tinatawag na characteristics equation. Ang mga ugat nito ay nagpapakita ng estabilidad ng sistema. Ang steady-state error ay depende sa R(s).

Sa isang saradong loop na sistema ng kontrol, ang signal ng error ay maaaring makalkula bilang $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Ang steady state error ay maaaring matukoy bilang ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , kung saan ang steady-state error ay ang halaga ng signal ng error sa steady state. Mula dito, makikita natin na ang steady-state error ay depende sa R(s).

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang estabilidad ay depende sa denominator o 1 + G(s)H(s). Dito, ang '1' ay constant, kaya ang estabilidad ay depende sa G(s)H(s), na ang bahagi ng equation na maaaring magbago. Kaya, maaari mong maintindihan ang Bode plot, Nyquist plot ay ginuhit sa tulong ng G(s)H(s), ngunit sila ay nagpapakita ng estabilidad ng $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) ay tinatawag na isang open-loop transfer function at $\frac{C(s)}{R(s)}$ ay tinatawag na isang closed-loop transfer function. Sa pamamagitan ng pag-aanalisa ng open-loop transfer function i.e. G(s)H(s), maaari nating matukoy ang estabilidad ng isang closed-loop transfer function sa pamamagitan ng Bode plot & Nyquist plot.

Mga Halimbawa ng Steady State Error

Steady State Error para sa Unit Step Input

Ngayon, ipapaliwanag namin ang steady-state error sa isang closed-loop control system gamit ang ilang mga halimbawa ng numero. Magsisimula tayo sa isang control system na may unit step input.

Halimbawa-1:

Isaalang-alang ang sumusunod na control system (system-1) tulad ng ipinakita sa Figure-3:

Ang reference input ‘Rs’ ay isang unit step input.

Ipinapakita ang iba't ibang steady-state values ng System-1 sa Figure-4.

Steady State Value Block Diagram — Figure-4: Iba't ibang Halagang Steady State sa isang Control System

Maaaring makita na ang halagang steady state ng error signal ay 0.5, kaya ang steady state error ay 0.5. Kung ang sistema ay matatag at ang iba't ibang mga signal ay pantay-pantay, maaaring makamit ang iba't ibang halagang steady state bilang sumusunod:

Sa transfer function bilang $s\rightarrow 0$ , maaari kang makakuha ng steady state gain ng transfer function.

Maaari mong kalkulahin ang output bilang sumusunod:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Tandaan na $R(s)$ = unit step input = $\frac{1}{s}$ , maaari nating baguhin ito sa:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Ang halagang steady state ng output ay:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Maaari nating gamitin ang paraan na ito upang kalkulahin ang halagang steady state ng anumang signal. Halimbawa:

Ang input ay $R(s)= \frac{1}{s}$ (Input is unit step input)

Ang halagang steady state nito ay $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Kapareho, maaaring makalkula ang error signal bilang:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Ang halagang steady state ng signal ng error (o ang steady state error) ay:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Maaari ring makita mula sa Figure-4 na ang pagkakaiba sa pagitan ng input at output ay 0.5. Kaya ang steady state error ay 0.5.

Isang ibang paraan upang kalkulahin ang steady state error ay ang paghahanap ng mga error constants, gaya ng sumusunod:

Kalkulahin ang koepisyenteng pang-posisyon na Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Makikita mo na Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Makikita mo ang parehong sagot.

Kung ang input ay isang step input, halimbawa $R(s)=\frac{3}{s}$ (ito ay isang step input, ngunit hindi ito isang unit step input), kung gayon ang steady state error ay ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Kung ang input ay isang unit ramp input, kung gayon kalkulahin, Velocity error coefficient Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Kung ang input ay unit parabolic input, kalkulahin ang Acceleration error coefficient Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Sa pamamagitan ng pag-aanalisa ng mga konstante ng error na Kp, Kv at Ka, maaari kang maintindihan kung paano umuunlad ang steady state error batay sa input.

PI Controller At Steady State Error

Ang isang PI controller (o iyon ay isang proportional controller plus integral controller) ay nagbabawas ng steady state error (ess), ngunit may negatibong epekto sa estabilidad.

Ang mga PI controller ay may abilidad na bawasan ang steady-state error ng sistema, habang may kakulangan naman ito na nagbabawas ng estabilidad ng sistema.

Nagbabawas ang PI controller ng estabilidad. Ito ang nangangahulugan na bumababa ang damping; tumataas ang peak overshoot at settling time dahil sa PI controller; Ang mga ugat ng characteristics equation (poles ng closed-loop transfer function) sa kaliwang bahagi ay lumalapit sa imaginary axis. Tumataas din ang order ng sistema dahil sa PI controller, na nagtutulak sa pagbabawas ng estabilidad.

Isaalang-alang ang dalawang characteristics equations, ang isa ay s3+ s2+ 3s+20=0, ang iba pa ay s2+3s+20=0. Sa pamamagitan lamang ng pagsusuri, maaari kitang sabihin na mas mababa ang estabilidad ng sistema na may kaugnayan sa unang equation kaysa sa ikalawang equation. Maaari mong patunayan ito sa pamamagitan ng paghahanap ng mga ugat ng equation. Kaya, maaari kang maintindihan na ang mas mataas na order ng characteristics equations ay may mas mababang estabilidad.

Ngayon, dadagdagan natin ng isang PI controller (Proportional Plus Integral controller) ang system-1 (Figure-3) at susuriin ang mga resulta. Matapos ilagay ang PI controller sa system-1, ipinapakita ang iba't ibang steady state values sa Figure-5, makikita na ang output ay eksaktong katumbas ng reference input. Ito ang abilidad ng PI controller, na ito ay nagbabawas ng steady state error upang ang output ay subukan sumunod sa reference input.

PI Controller Block Diagram — Larawan-5: Ang epekto ng PI Controller ay maaaring makita sa diagram na ito

Ang transfer function ng PI controller ay maaaring makalkula bilang $Kp+\frac{Ki}{s}$ o $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Isang katanungan na maaaring itanong ay kung ang input ng anumang transfer function ay zero, sana ang output nito ay zero. Kaya, sa kasong ito, ang input sa PI controller ay zero, ngunit ang output ng PI controller ay isang may hanggang halaga (i.e. 1). Ang paliwanag na ito ay hindi ibinigay sa anumang libro ng control system, kaya ipapaliwanag namin ito dito:

(1) Ang steady state error ay hindi eksaktong zero, ito ay lumalapit sa zero, tulad din ng 's' na hindi eksaktong zero, ito ay lumalapit sa zero, Kaya, sa anumang istansya, kung ang steady state error ay 2x10-3, sa parehong oras, ang 's' (partikular na nagsasalita tungkol sa 's' sa denominator ng PI controller) ay din 2x10-3, kaya ang output ng PI controller ay '1'.

Isaalang-alang natin ang isa pang control system na ipinakita sa Larawan-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Larawan-6: Isang Halimbawa ng Closed Loop Control System na may PI Controller

Sa kasong ito, maaari nating sabihin, sa anumang istansya, kung ang steady state error ay 2x10-3, sa parehong oras, ang 's' ay katumbas ng 4×10-3; kaya ang output ng PI controller ay '0.5'. Ito ibig sabihin, parehong ang 'ess' at 's' ay lumalapit sa zero, ngunit ang kanilang ratio ay isang may hanggang halaga.

Sa mga libro ng sistema ng kontrol, hindi ka makakahanap ng s=0 o t=∞; laging makikita mo
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Ang pangalawang paliwanag ay ang pagiging sero ng steady-state error, 's' ay sero rin sa steady state. Ang transfer function ng PI controller ay $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Sa mga libro ng matematika, makikita mo na $\frac{0}{0}$ ay hindi defined, kaya maaari itong anumang finite value (tingnan ang Figure-7).

(3) Ang ikatlong paliwanag ay, $\frac{1}{s}$ ay isang integrator. Ang input ay sero, ang integration ng sero ay hindi defined. Kaya ang output ng PI controller maaaring anumang finite value.

Ang isang pangunahing pagkakaiba sa open loop control system & closed loop control system

Sa kaugnayan sa nabanggit na paliwanag, ipapaliwanag namin ang isang pangunahing pagkakaiba sa isang open-loop control system & closed-loop control system. Ang mga pagkakaiba sa open-loop control system & closed-loop control system, maaaring makita mo sa anumang libro ng sistema ng kontrol*, ngunit ang isang pangunahing pagkakaiba na may kaugnayan sa nabanggit na paliwanag ay ibinibigay dito at inaasahan namin na ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga mambabasa.

Isang open loop control system maaaring ipakilala bilang:

Sistema ng Kontrol na Walang Loop — Larawan-8: Ito ang diagrama ng Standard Open Loop Control System

Ang isang closed loop control system (feedback control system) maaaring ipakilala bilang sumusunod:

Sistema ng Kontrol na May Loop — Larawan-9: Ito ang diagrama ng Standard Closed Loop Control System

Ang transfer function ng planta ay naka-set (Ang Transfer Function ng planta maaaring magbago automatikamente dahil sa pagbabago ng kapaligiran, disturbance, atbp.). Sa lahat ng aming talakayan, kami ay nagsang-ayon na H(s)=1; Ang isang operator ay maaaring kontrolin ang transfer function ng controller (i.e parameter ng controller tulad ng Kp, Kd, Ki) atbp.

Ang controller maaaring maging Proportional controller (P controller), PI controller, PD controller, PID controller, Fuzzy logic controller atbp. May dalawang layunin ang isang controller (i) Upang panatiliin ang estabilidad, i.e. damping dapat na mas o menos 0.7-0.9, peak overshoot at settling time dapat mababa (ii) Ang steady-state error dapat maging minimum (dapat ito ay zero).

Ngunit kung susubukan nating taas ang damping, maaaring tumaas ang steady-state error. Kaya ang disenyo ng controller ay dapat gawing parehong (estabilidad & steady-state error) ay nasa kontrol. Ang optimal na disenyo ng controller ay isang malaking paksa ng pagsasaliksik.

Ito ay isinulat na, ang PI controller ay bawas sa Steady state error (ess) drastikal, ngunit may negatibong epekto sa estabilidad.

Ngayon, ipaliwanag namin ang isang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng open loop control system & closed loop control system, na may kaugnayan sa itaas na ipinaliwanag.

Isaalang-alang ang Larawan-10; ito ay isang open loop control system.

Sabihin nating ang input ay isang unit step input. Kaya, ang steady-state value ng input ay '1'. Maaaring makalkula na ang steady state value ng output ay '2'. Sipiin na may pagbabago sa transfer function [G(s)] ng plant dahil sa anumang dahilan, ano ang epekto sa input at output? Ang sagot ay hindi magbabago ang input sa plant, ang output ng plant ang magbabago.

Ngayon, isaalang-alang ang Larawan-11 & 12

Larawan-12: Sistema ng May Loop, Ang output ng plant ay pareho ngunit ang input ng plant ay nagbago dahil sa pagbabago sa Transfer Function

Parehong ito ay sistema ng kontrol na may loop. Sa Larawan-11, suposin na may pagbabago sa transfer function ng plant dahil sa anumang dahilan, ano ang epekto sa input at output? Sa kasong ito, ang input sa plant ay magbabago, ang output ng plant ay mananatiling hindi nagbabago. Ang output ng plant ay sinusunod ang reference input.

Ipinaliwanag ng Larawan-12 ang mga bagong kondisyon, kung saan ang mga parameter ng plant ay nagbago. Makikita mo na ang input ng plant ay nagbago mula 0.5 hanggang 0.476, habang ang output ay hindi nagbago. Sa parehong mga kaso, ang input sa PI controller ay zero, ang mga specification ng PI controller ay pareho ngunit ang output ng PI controller ay iba.

Kaya, maunawaan mo, sa sistema ng kontrol na walang loop, ang output ng plant ang nagbabago, habang sa sistema ng kontrol na may loop, ang input sa plant ang nagbabago.

Sa mga libro ng sistema ng kontrol, maaaring makita ang sumusunod na pahayag:

“Sa kaso ng pagbabago ng parameter ng plant transfer function, ang closed loop control system ay mas kaunti ang sensitibidad kumpara sa open loop control system” (o mas maliit ang pagbabago ng output ng closed loop control system kumpara sa open loop control system).

Inaasahan namin na mas malinaw ang nabanggit na pahayag sa mga halimbawa na ibinigay sa artikulong ito.

___________________________________________________________________

*Mga mambabasa ng Electrical4U, mangyaring tandaan na ang layunin ng artikulong ito ay hindi i-reproduce ang mga paksa na nandoon na sa mga libro; ngunit ang aming layunin ay ipakita ang iba't ibang mahuhulog na paksa ng Control Engineering sa madaling wika kasama ang mga numerikal na halimbawa. Inaasahan namin na makatutulong ang artikulong ito upang maintindihan ninyo ang iba't ibang kumplikasyon tungkol sa steady-state error & PI controllers.

Pahayag: Igalang ang orihinal, mahalagang mga artikulo na karapat-dapat na ibahagi, kung may paglabag sa copyright pakiusap lumapit upang i-delete.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Sistema ng Paggamit ng Kapangyarihan

Sistema ng Pagkontrol

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng kahusayan

Basic Electrical

Artikulong Propesyonナル専门文章

607